Condorcetin paradoksi osoittaa, että kollektiiviset äänestysasetukset eivät täytä transitiivisuuden oletusta, vaikka yksittäiset mieltymykset täyttävätkin.
Condorcetin paradoksi on nimetty sen kirjoittajan Nicolás Condorcetin (1943-1974) mukaan. Condorcet, joka tunnetaan paremmin nimellä Marquis de Condorcet, omistautui opiskelemaan muun muassa todennäköisyyksiä ja valittuja menetelmiä.
Niinpä eräässä noin vuonna 1785 julkaistussa esseessään hän tajusi, että kollektiivit voivat olla ristiriidassa keskenään. Toisin sanoen, ottaen huomioon henkilökohtaiset äänestysasetukset, aikomukset olivat selvät, mutta kun annettiin kollektiivinen ääni, oli paradoksi.
Transitiivisuuden oletus
Transitiivisuusolettamuksessa todetaan seuraavaa:
Kun otetaan huomioon kolme vaihtoehtoa (A, B ja C), sanotaan, että transitiivisuusoletus täyttyy, jos annetaan seuraavat tulokset:
- A on parempi kuin B
- B on parempi kuin C
Sitten voimme sanoa transitiivisuusolettamuksella, että A on parempi kuin C.
Jos tämä etusijajärjestys ei täyty, emme voi osoittaa transitiivisuutta. Siten voi tapahtua, että A on edullinen B: n ja B: n kanssa C: n sijaan, mutta ei A: ta C: n yli.
- A = munkkeja
- B = hampurilainen
- C = suklaa
Haluan syödä mieluummin munkkeja (A) kuin syödä hampurilaista (B). Haluaisin myös mieluummin syödä hampurilaista (B) kuin syödä suklaata (C). Mutta jos annat minulle vaihtoehdon munkin (A) ja suklaan (C) välillä, pidän parempana suklaasta (C).
Se on näennäisesti paradoksaalinen tapaus, mutta se voi tapahtua.
Esimerkki Condorcetin paradoksista
Katsotaanpa tapausta äänestyksestä, jossa on kolme vaihtoehtoa: A, B ja C. Vaihtoehdot järjestetään vasemmalta oikealle etusijajärjestyksessä. Jotta:
- Jose = A> B> C
- Paula = C> A> B
- Mary = B> C> A
| Nimi | Vaihtoehto 1 | Vaihtoehto 2 | Vaihtoehto 3 |
| Joseph | TO | B | C |
| Paula | C | TO | B |
| Mary | B | C | TO |
Tämän taulukon avulla vertaamalla vaihtoehtoja kaksi kerrallaan, voimme tehdä seuraavat johtopäätökset:
- A vs. B: Jos verrataan A: ta B: hen, näemme, että A on B: n edellä kahdesti (José ja Paula) ja B: n vain kerran A: ta (Maria) vastaan. Siten sanoisimme, että vaihtoehto A on parempana kuin B.
- A vs. C: Ottaen huomioon, että A on parempana kuin B, aiomme tarkistaa, mitä tapahtuu, kun verrataan sitä C.: hin. C on A: ta kahdesti (Paula ja María) ja A: ta vain kerran verrattuna C: hen (José). Siksi C olisi voittava vaihtoehto.
Nyt aiomme muuttaa äänestysjärjestystä:
- A vs. C: Kuten olemme jo nähneet, C.
- C vs. B: Koska C on mieluummin kuin A, aiomme tarkistaa, mitä tapahtuu, kun verrataan sitä B.: hen. B on C: n edellä kahdesti (José ja María) ja B: n vain kerran verrattuna C: hen (Paula). Siksi B olisi voittaja.
Muutamme tilausta vielä kerran:
- C vs. B: Kuten olemme jo nähneet, B.
- A vs. B: Koska B on parempana kuin C, aiomme tarkistaa, mitä tapahtuu, kun verrataan sitä A: han. Näemme, että A on edellä B: tä kahdesti (José ja Paula) ja B: tä vain kerran verrattuna A: han (María). Joten sanomme, että vaihtoehto A on voittava vaihtoehto.
Tässä esimerkissä olemme pystyneet varmistamaan, että äänestysjärjestyksestä riippuen kaksi voittaja voi olla A, B tai C. Tätä kutsutaan Condorcetin paradoksiksi. Yksilöt ovat hyvin selkeitä mieltymyksistään, mutta yhdessä tulokset ovat hämmentäviä.