Äärelliset joukot ovat niitä, joiden kardinaalisuus tai siinä olevien elementtien lukumäärä on yhtä suuri kuin luonnollinen luku.
Toisin sanoen rajallinen joukko on joukko, joka sisältää useita elementtejä, jotka voidaan laskea. Koska se on äärettömän joukon vastakohta, jossa elementit eivät ole laskettavissa.
Muodollisempi tapa ilmaista, että joukko on äärellinen, on se, että sen joukon elementit, joita kutsumme M: ksi, voidaan yhdistää joukon (1, 2,…, n) elementteihin, joita kutsumme N: ksi. Tämä on kokonaislukujen sarja, jossa kukin elementti on yhtä suuri kuin edellinen, plus yksikkö.
Siten M: n ja N: n elementit voidaan parittaa yksi kerrallaan (joka tunnetaan nimellä yksi-yhteen-kirjeenvaihto) jättämättä kuitenkaan yhtään elementtiä kahdesta joukosta.
Sanotaan myös, että M ja N ovat potentiaalisia, toisin sanoen kullekin M-elementille on N-elementti.
Lisäksi luku n (joukon N suurin elementti) osuu yhteen M: n alkioiden lukumäärän kanssa, jossa n on N: n kardinaali, kardinaali tai voima, ja sen merkintä on kortti (N), | N | tai #N.
Rajalliset esimerkit
Joitakin esimerkkejä äärellisistä joukoista ovat seuraavat:
- Parittomat kokonaisluvut yli 13 ja alle 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Maan valtameret: Atlantti, Tyynenmeren alue, Intia, Arktinen alue, Antarktis
- Luettelo kahdestakymmenestä luokkahuoneeseen kuuluvasta opiskelijasta.
Äärellisten joukkojen ominaisuudet
Äärellisten joukkojen pääominaisuuksia ovat ne, jotka ovat alttiina alla:
- Kahden tai useamman äärellisen joukon yhdistäminen johtaa äärelliseen joukkoon.
- Yhden tai useamman joukon äärellisen joukon leikkauspiste (yhteiset elementit) on äärellinen.
- Äärellisen joukon osajoukko on myös äärellinen.
- Äärellisen joukon M osajoukolle C on tunnusomaista, että sillä on pienempi määrä elementtejä kuin M. Eli on totta, että: Jos C ⊊ M ja | M | = n, sitten | C | <n (Symboli ⊊ tarkoittaa, että C on oikea M: n osajoukko. Toisin sanoen kaikki C: n elementit sisältyvät M: ään, mutta M: ssä on ainakin yksi alkuaine, joka ei ole C: ssä).
- Äärellisen joukon M tehojoukko, joka sisältää kaikki osajoukot, jotka voidaan muodostaa joukon M elementeillä (mukaan lukien tyhjä joukko tai ∅), on rajallinen ja siinä on 2n elementit, missä n on M: n elementtien lukumäärä. Esimerkiksi, jos meillä on
(1, 3, 41)
Tehoasetus olisi: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Kuten voimme nähdä, kolmen elementin äärellisen joukon tehojoukolla on kahdeksan (23) elementtejä.