Käänteinen matriisi on matriisin lineaarinen muunnos kertomalla matriisin determinantin käänteinen vastaava transponoitu matriisi.
Toisin sanoen käänteinen matriisi on determinantin käänteisen kertominen transponoidulla liitosmatriisilla.
Suositeltavat artikkelit: matriisin, neliömatriisin, päädiagonaalin determinantti ja operaatiot matriiseilla.
Koska mikä tahansa matriisi X on sellainen, että
Käänteismatriisikaava matriksista, jonka järjestys on 2
Sitten X: n käänteinen matriisi on
Tätä kaavaa käyttämällä saadaan järjestyksessä 2 olevan neliömatriisin käänteismatriisi.
Edellä oleva kaava voidaan ilmaista myös matriisin determinantilla.
Käänteismatriisikaava matriksista, jonka järjestys on 2
Kaksi rinnakkaista viivaa X: n ympärillä nimittäjässä osoittavat, että se on matriisin X determinantti.
Kun neliömatriisissa on käänteinen matriisi, sanomme sen olevan säännöllinen matriisi.
Vaatimukset
Jotta voisimme löytää järjestyksen n matriisin käänteisen matriisin, meidän on täytettävä seuraavat vaatimukset:
- Matriisin on oltava neliömäinen matriisi.
Rivien lukumäärän (n) on oltava sama kuin sarakkeiden lukumäärän (m). Toisin sanoen matriisin järjestys on n, koska n = m.
- Determinantin on oltava nolla (0).
Matriisin determinantin on oltava nolla (0), koska se osallistuu kaavaan nimittäjänä. Jos nimittäjä olisi nolla (0), meillä olisi määrittelemättömyys.
Jos nimittäjä (ad - bc) = 0, ts. Matriisin X determinantti on yhtä suuri kuin nolla (0), matriisilla X ei ole käänteistä matriisia.
Omaisuus
N-neliömäisellä matriisilla X on käänteinen matriisi X, jonka järjestys on n, X-1, niin että se täyttää sen
Kertolasun elementtien järjestyksellä ei ole merkitystä, toisin sanoen minkä tahansa neliömatriisin kertominen sen käänteismatriisilla johtaa aina saman järjestyksen identiteettimatriisiin.
Tässä tapauksessa matriisin X järjestys on 2. Joten voimme kirjoittaa edellisen ominaisuuden uudestaan:
Käytännön esimerkki
Etsi matriisin V käänteinen matriisi.
Tämän esimerkin ratkaisemiseksi voimme käyttää kaavaa tai laskea ensin determinantin ja korvata sen.
Kaava
Kaava determinantin kanssa
Lasketaan ensin matriisin V determinantti ja korvataan se sitten kaavalla.
Joten saamme, että matriisin V determinantti eroaa nollasta (0) ja voimme sanoa, että matriisilla V on käänteinen matriisi.
Saamme saman tuloksen käyttämällä kaavaa tai laskemalla ensin determinantti ja korvaamalla se sitten.
Käänteisen matriisin järjestys on sama kuin alkuperäisen matriisin järjestys. Tässä tapauksessa meillä on sama määrä rivejä n ja sarakkeita m sekä matriiseissa V että V-1.
Transponoitu matriisi