Fraktaaligeometria - mikä se on, määritelmä ja käsite

Fraktaaligeometria on se geometrian haara, joka tutkii fraktaaleja. Nämä ovat monimutkaisia ​​esineitä, joiden rakenne toistuu, kun havaitsemme sitä eri mittakaavoissa.

Fraktaalit koostuvat toisin sanoen osista, jotka ovat samanlaisia ​​kuin koko ja ovat epäsäännöllisiä rakenteita. Ajatelkaamme parsakaalin päätä, joka jaettaessa se jaetaan useisiin pienempiin parsakaaleihin.

Fraktaaligeometria syntyi tarpeesta saada parempi lähentyminen todellisuuteen, koska tasogeometria sekä avaruuden tutkimushahmojen ja kappaleiden geometria, joita tuskin löydämme luonnosta.

Ajattele, että vuoret eivät ole käpyjä ja että jopa Egyptin pyramidien pinnoilla on tiettyjä epäsäännöllisyyksiä, jos katsomme niitä tarkasti. Näitä epätäydellisyyksiä kutsutaan karheuden laadulla, ja se on ominaisuus, joka lisää fraktaaligeometrian esineisiin, joilla ei enää ole vain kehää, pinta-alaa ja tilavuutta.

Fraktaaligeometrian alkuperä

Fraktaaligeometrian alkuperää on matemaatikko Benoit Mandelbrot ja hänen suurin kirjallinen teoksensa: "Fractal Geometry of Nature", joka julkaistiin vuonna 1982.

Sana fraktaali tulee latinankielisestä sanasta "fractus", joka tarkoittaa rikkoutunutta tai murtunutta, ja Mandelbrot loi sen vuonna 1975.

On syytä mainita, että vaikka Mandelbrot virallisti fraktaalitalouden tutkimuksen, hän ei ollut ensimmäinen, joka huomasi fraktaalien olemassaolon luonnossa. Esimerkiksi, jos tarkastelemme tunnetun japanilaisen taidemaalarin Katsushika Hokusain töitä, näemme, että käsite on sovellettu (ja Mandelbrot itse mainitsi sen haastattelussa). Esimerkiksi maalauksessa "Suuri aalto" havaitaan, kuinka aallon sisällä on muita pienempiä aaltoja.

Fraktaalin ominaisuudet

Fraktaalin pääominaisuudet ovat seuraavat:

• Itse samankaltaisuus: Se viittaa siihen, mitä olemme jo maininneet aiemmin. Jos katsomme fraktaalin osaa laajemmassa mittakaavassa (tarkemmin), se näyttää samalta kuin koko esine. Eli osa on samanlainen kuin kokonaisuus, vaikka se ei aina ole totta. Kuvitelkaamme esimerkiksi rombia, joka koostuu monista pienistä rombeista. Vaikka näiden rombien koko vaihtelee hieman, se olisi fraktaali.
• Fraktaalimitta ei ole yhtä suuri kuin topologinen ulottuvuus: Kuvitellaanpa topologisen ulottuvuuden selittämistä, että meillä on taso, joka on jaettu ruudukkoihin, kuten verkko. Joten piirrän viivan, joka kulkee kahden ruudukon läpi. Jos jakoisin kaikki verkkoverkot kahteen, viiva kulkisi 4 ristikon läpi. Toisin sanoen se kerrotaan 2: lla, joka on yhtä suuri kuin pelkistyskerroin (2) korotettuna arvoon 1 (2 = 2¹), joka redundanssin arvoinen on viivan mittojen lukumäärä. Jos meillä on monikulmio, kaksiulotteinen hahmo, tapahtuu jotain vastaavaa. Esimerkiksi, jos meillä on neliö, joka ulottuu neljään ristikkoon, ja käytämme uudelleen pelkistyskerrointa 2, neliö ulottuu 16 ruutuun. Toisin sanoen, ristikkojen (4) määrä kerrotaan 4: llä, joka on 2 korotettu 2: ksi (2 = 2²), eksponentti on ulottuvuuksien neliö. Kaikki yllä oleva ei kuitenkaan pidä paikkaansa fraktaaleissa.
• Niitä ei voida erottaa missään vaiheessa: Tämä tarkoittaa matemaattisesti, että esitetyn funktion derivaattia ei voida laskea. Visuaalisesti se tarkoittaa, että kaavio ei ole jatkuva, vaan sillä on huiput, joten johdannaista ei ole mahdollista tehdä.

Fraktaaligeometrian soveltaminen

Fraktaalin geometriaa voidaan käyttää useilla aloilla. Esimerkiksi vuonna 1940 Lewis Fry Richardson oli havainnut, että eri rajat maan ja maan välillä muuttuivat mitta-asteikosta riippuen. Toisin sanoen, jos mitataan maantieteellinen muoto, tulos vaihtelee käytetyn viivaimen pituuden mukaan. Tämä toimi viitteenä Mandelbrotille hänen vuonna 1967 julkaisemassaan artikkelissa Science: "Kuinka kauan Ison-Britannian rannikko on?"

Voidaan selittää, jos otetaan huomioon, että maantieteelliset alueet ovat fraktaaleja, ja kuten näemme ne laajemmin, näemme enemmän epäsäännöllisyyksiä.

Toinen fraktaaligeometrian sovellus on seismisten liikkeiden ja osakemarkkinoiden analyysi.

Lisäksi on tunnustettava, että fraktaalit ovat olleet inspiraationa taiteilijoille, kuten edellä mainittu Hokusa, ja meillä on myös Jackson Pollockin tapaus.