Normaalijakauma on teoreettinen malli, joka kykenee lähentämään tyydyttävästi satunnaismuuttujan arvoa ihanteelliseen tilanteeseen.
Toisin sanoen normaalijakauma sovittaa satunnaismuuttujan funktioon, joka riippuu keskiarvosta ja keskihajonnasta. Toisin sanoen funktiolla ja satunnaismuuttujalla on sama esitys, mutta pienillä eroilla.
Jatkuva satunnaismuuttuja voi ottaa minkä tahansa reaaliluvun. Esimerkiksi osakkeiden tuotot, testitulokset, älykkyysosamäärä ja vakiovirheet ovat jatkuvia satunnaismuuttujia.
Diskreetti satunnaismuuttuja ottaa luonnolliset arvot. Esimerkiksi opiskelijoiden määrä yliopistossa.
Normaalijakauma on perusta muille jakaumille, kuten Studentin t-jakaumalle, khi-neliöjakaumalle, Fisherin F-jakaumalle ja muille jakaumille.
Normaalijakauman kaava
Ottaen huomioon satunnaismuuttujan X sanomme, että sen havaintojen taajuus voidaan arvioida tyydyttävästi normaalijakaumaan siten, että:
Jos jakauman parametrit ovat keskiarvo tai keskiarvo ja keskihajonta:
Toisin sanoen sanomme, että satunnaismuuttujan X taajuus voidaan esittää normaalijakaumalla.
Edustus
Normaalijakaumaa seuraavan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio.
Ominaisuudet
- Se on symmetrinen jakauma. Keskiarvon, mediaanin ja tilan arvo on sama. Matemaattisesti,
Keskiarvo = mediaani = tila
- Yksimodaalinen jakauma. Arvot, jotka ovat yleisempiä tai todennäköisemmin esiintyviä, ovat keskiarvon lähellä. Toisin sanoen, kun siirrymme pois keskiarvosta, arvojen esiintymisen todennäköisyys ja niiden taajuus pienenee.
Mitä meidän on edustettava normaalijakaumaa?
- Satunnainen muuttuja.
- Laske keskiarvo.
- Laske keskihajonta.
- Päätä funktio, jota haluamme edustaa: todennäköisyystiheysfunktio tai jakautofunktio.
Teoreettinen esimerkki
Oletetaan, että haluamme tietää, voivatko testin tulokset tyydyttävästi arvioida normaalijakauman.
Tiedämme, että tähän testiin osallistuu 476 opiskelijaa ja että tulokset voivat vaihdella välillä 0-10. Laskemme keskiarvon ja keskihajonnan havainnoista (testitulokset).
Joten määritämme satunnaismuuttujan X testipisteinä, jotka riippuvat kustakin yksittäisestä tuloksesta. Matemaattisesti,
Jokaisen opiskelijan pisteet kirjataan taulukkoon. Tällä tavalla saamme globaalin kuvan tuloksista ja niiden toistuvuudesta.
| Tulokset | Taajuus |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| KAIKKI YHTEENSÄ | 476 |
Kun taulukko on tehty, edustamme tutkimuksen tuloksia ja taajuuksia. Jos kaavio näyttää edelliseltä kuvalta ja täyttää ominaisuudet, testitulosmuuttuja voidaan arvioida tyydyttävällä tavalla normaalijakauman keskiarvoon 4,8 ja keskihajontaan 3,09.
Voivatko testitulokset arvioida normaalijakauman?
Syyt katsella, että testitulosten muuttuja seuraa normaalijakaumaa:
- Symmetrinen jakauma. Toisin sanoen on sama määrä havaintoja sekä keskiarvon oikealla että vasemmalla puolella. Lisäksi keskiarvolla, mediaanilla ja moodilla on sama arvo.
Keskiarvo = mediaani = tila = 5
- Eniten taajuutta tai todennäköisyyttä olevat havainnot ovat keskeisen arvon ympärillä. Toisin sanoen, havainnot, joiden taajuus tai todennäköisyys on pienempi, ovat kaukana keskeisestä arvosta.
Normaalijakauma kuvaa satunnaismuuttujaa likiarvolla, joka tuottaa standardivirheitä (palkit kunkin sarakkeen yläpuolella). Nämä virheet ovat todellisten havaintojen (tulosten) ja tiheysfunktion (normaalijakauman) välinen ero.
