Kompleksiluvut ovat reaalilukujen ja kuvitteellisten lukujen yhdistelmiä.
Toisin sanoen kompleksiluvut ovat lukuja, joilla on todellinen osa ja kuvitteellinen osa.
Kompleksilukujen kaavio
Helppo tapa muistaa kompleksiluvut ovat muistiin seuraava kaava:
Joten, tietäen, että kompleksiluvuista löydämme reaalilukuja ja kuvitteellisia lukuja, on helpompi ymmärtää, että kompleksiluvut ovat reaalilukujen ja kuvitteellisten numeroiden yhdistelmiä. Voimme yhdistää ne millä tahansa haluamallamme tavalla!
Kun ajattelemme kompleksilukuja, meidän pitäisi ajatella adjektiivia "täydellinen" eikä adjektiivia "monimutkainen". Täydellinen siinä mielessä, että se sisältää molemmat maailmat: todellisen ja kuvitteellisen.
Kompleksiluvun kaava
Kompleksiluvun yleisin esitys on reaaliosan ja kuvitteellisen osan summa. Samalla kuvitteellinen osa on jaettu kuvitteellisen osan ja kuvitteellisen yksikön kesken.
Kun otetaan huomioon reaaliluku ja kuvitteellinen luku, voimme luoda seuraavan yhdistelmän:
h + ui
Missä:
- h on reaaliluku.
- ui on kuvitteellinen luku.
Tarkemmin:
- h on reaaliluku.
- tai se on kuvitteellinen osa.
- i se on kuvitteellinen yksikkö.
Joten aina kun löydämme numeroiden yhdistelmän ja näemme "i", tarkoittaakö se, että se on kompleksiluku?
Tämä kysymys on hankala, koska kaikki tiedämme numerot sisältyvät kompleksilukuihin. Jos tarkastelet yllä olevaa kaaviota, huomaat, että reaaliluku on myös kompleksiluku. On totta, että kun löydämme reaaliluvun, emme näe mitään "i": tä, näin olisi kompleksiluvussa, jossa kuvitteellinen osa on nolla.
Eri kompleksilukujen muodot, jotka voimme löytää, ovat seuraavat:
| Monimutkainen numero | Oikea numero | Kuvitteellinen numero | |
| Monimutkainen numero | h + ui | h | ui |
| Puhtaasti todellinen kompleksiluku | h | h | 0 |
| Puhtaasti kuvitteellinen kompleksiluku | ui | 0 | ui |
- Puhtaasti todellinen kompleksiluku: Se on kompleksiluku, jossa kuvitteellinen osa on 0. Toisin sanoen mikä tahansa luku miinuksesta äärettömään plus ääretön on todellinen luku.
- Puhtaasti kuvitteellinen kompleksiluku: Se on kompleksiluku, jossa todellinen osa on 0. Toisin sanoen se on kuvitteellinen luku, mikä tahansa reaaliluku, jonka vieressä on "i".
Edustus
Vaikka kompleksiluvut kirjoitetaan todellisten ja kuvitteellisten lukujen yhdistelminä, niiden graafinen esitys seuraa myös samaa mallia.
Tätä kaaviota kutsutaan monimutkaiseksi tasoksi, koska se edustaa sekä todellisia että kuvitteellisia lukuja, toisin sanoen kompleksilukuja.
Sovellus
Kompleksilukuja käytetään laajalti matematiikan alalla, erityisesti fraktaalien kurinalaisuudessa.
Esimerkki kompleksiluvuista
Ajattele esimerkkejä numeroista, jotka voivat täydentää seuraavan taulukon:
| Monimutkainen numero | Oikea numero | Kuvitteellinen numero | |
| Monimutkainen numero | 3 + 4i | 3 | 4i |
| Puhtaasti todellinen kompleksiluku | 3 | 3 | 0 |
| Puhtaasti kuvitteellinen kompleksiluku | 4i | 0 | 4i |
On kuitenkin huomattava, että tämä taulukko voidaan täyttää muilla tavoin ja muilla numeroilla. Tietysti aina noudattaen rakennetta, joka oli yksityiskohtainen alussa ja jossa sen kaava selitettiin.
Irrationaaliset luvut