Kahden avaruusulottuvuuden R pisteen välinen etäisyys on neliöjuuren soveltaminen vektoriin, jonka muodostavat järjestetyt pisteet.
Toisin sanoen kahden avaruuspisteen välinen etäisyys on näiden pisteiden muodostaman vektorin moduuli.
Kahden pisteen välinen etäisyys ei ole muuta kuin annettujen pisteiden muodostama vektorin moduuli. Kun vektorin moduuli on laskettu, meillä on jo kahden pisteen välinen etäisyys.
Kaava
Ottaen huomioon seuraavat kaksi seikkaa:
Sitten näiden kahden pisteen välinen etäisyys on niiden muodostaman vektorin moduuli:
Siksi tämän vektorin moduuli on näiden kahden pisteen välinen etäisyys:
Juuren pituus riippuu pisteiden ulottuvuuksista. Jos ne ovat vain kaksiulotteisia pisteitä, juuressa on vain kaksi termiä. Toisaalta, jos pisteillä on 6 ulottuvuutta, juuressa on 6 elementtiä.
Sanotaan, että pisteet on järjestettävä, koska vektoreissa, kuten matriiseissa, tekijöiden järjestyksellä on merkitystä ja se on ratkaisevan tärkeää ongelman oikean ratkaisun kannalta. Pisteestä B pisteeseen C siirtyvä vektori ei ole sama kuin toinen vektori, joka kulkee pisteestä C pisteeseen B.
Kaavamaisesti:
Kahden edellisen vektorin osuus on etäisyys: sekä vektori BC että vektori CB pitävät saman etäisyyden pisteidensä välillä. Toisin sanoen heillä on sama moduuli.
Tämä johtuu siitä, että kahden vektorin ero on vain niiden koordinaattien merkki. Koska moduuli sisältää vektorin koordinaattien neliön tekemisen, se tuottaa saman vaikutuksen kuin jos sovellamme absoluuttista arvoa. Itse asiassa tämä on syy, miksi ilmoitamme vektorimoduulin kahdella yhdensuuntaisella viivalla:
Sitten juurella poistetaan komponenttien neliön vaikutus ja palataan samoihin yksiköihin.
Etäisyys analyyttisessä geometriassa ja todellisuudessa
Kun meidän on laskettava etäisyydet analyyttisessä geometriassa, voimme auttaa itseämme todellisilla esimerkeillä. Esimerkiksi, jos meitä pyydetään laskemaan kahden pisteen välinen etäisyys, kuten tässä tapauksessa, voimme kuvitella itsemme lähtökohdaksi (piste B) ja kohteen loppupisteeksi (piste C). Joten voimme mitata tuon etäisyyden vähentämällä absoluuttisen arvon yhden pisteen ja toisen välillä. Toisin sanoen lasketaan moduuli.
Näemme, että sijainnistamme kohteeseen ja kohteesta meille on sama etäisyys. Lisäksi etäisyys on aina positiivinen riippumatta siitä, onko se 0 tai suurempi. Voi olla, että pidämme kohdetta ja siksi etäisyys on 0 tai että kohde on kaukana, joten positiivinen etäisyys.
Esimerkki kahden pisteen välisestä etäisyydestä
Laske etäisyys seuraavien pisteiden välillä:
