Binomijakauma on erillinen todennäköisyysjakauma, joka kuvaa onnistumisten lukumäärää, kun suoritetaan n riippumatonta kokeita satunnaismuuttujalle..
Tällä todennäköisyysjakaumalla voidaan luonnehtia suurta määrää kokeita tai tapahtumia. Kuvittele kolikonheitto, jossa määritellään tapahtuman "lyöminen päihin" onnistumisena. Jos heitämme kolikkoa viisi kertaa ja laskemme saamamme osumat (päät), todennäköisyysjakaumamme sopisi binomijakaumaan.
Siksi binomijakauma ymmärretään sarjana testejä tai kokeita, joissa meillä voi olla vain 2 lopputulosta (menestys tai epäonnistuminen), menestys on satunnaismuuttujamme.
Binomijakauman ominaisuudet
Jotta satunnaismuuttujan voidaan katsoa noudattavan binomijakaumaa, sen on täytettävä seuraavat ominaisuudet:
- Jokaisessa kokeessa, kokeessa tai testissä vain kaksi lopputulosta (onnistuminen tai epäonnistuminen) ovat mahdollisia.
- Menestyksen todennäköisyyden on oltava vakio. Tätä edustaa kirjain p. Kolikoiden kääntämisen todennäköisyys on 0,5 ja tämä on vakio, koska kolikko ei muutu jokaisessa kokeessa ja päiden todennäköisyydet ovat vakiot.
- Epäonnistumisen todennäköisyyden on myös oltava vakio. Tätä edustaa kirjain q = 1-p. On tärkeää huomata, että tämän yhtälön avulla, kun tiedämme p tai q, voimme saada puuttuvan.
- Kussakin kokeessa saatu tulos on riippumaton edellisestä. Siksi se, mikä tapahtuu jokaisessa kokeessa, ei vaikuta seuraaviin.
- Tapahtumat ovat toisiaan poissulkevia, toisin sanoen ne eivät voi tapahtua molempia samanaikaisesti. Ei ole mahdollista olla mies ja nainen samanaikaisesti tai että kolikkoa heittäessä se tulee ulos päistä ja hännistä samanaikaisesti.
- Tapahtumat ovat yhdessä tyhjentäviä, toisin sanoen ainakin toisen kahdesta on tapahduttava. Jos et ole mies, olet nainen ja jos heität kolikon, jos se ei tule päihin, sen on oltava hännät.
- Satunnaismuuttuja, joka seuraa binomijakaumaa, on yleensä esitetty X ~ (n, p), jossa n edustaa kokeiden tai kokeiden lukumäärää ja p onnistumisen todennäköisyyttä.
Binomijakauman kaava
Kaava normaalijakauman laskemiseksi on:
Missä:
n = kokeiden lukumäärä
x = onnistumisten määrä
p = onnistumisen todennäköisyys
q = epäonnistumisen todennäköisyys (1-p)
On tärkeää huomata, että hakasulkeissa oleva lauseke ei ole matriisiilmaisu, vaan se on tulos yhdistelmästä ilman toistoa. Tämä saadaan seuraavalla kaavalla:
Edellisen lausekkeen huutomerkki edustaa tekijän symbolia.
Binomiaalijakaumaesimerkki
Kuvitellaan, että 80% maailman ihmisistä on nähnyt viimeisen jalkapallon maailmanmestaruuskilpailujen viimeisen ottelun. Tapahtuman jälkeen 4 kaveria tapaavat keskustelemaan.Mikä on todennäköisyys, että 3 heistä on nähnyt pelin?
Määritellään kokeilun muuttujat:
n = 4 (on koko näytteemme)
x = onnistumisten määrä, joka tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin 3, koska etsimme todennäköisyyttä, että 3 neljästä ystävästä on nähnyt sen.
p = onnistumisen todennäköisyys (0,8)
q = epäonnistumisen todennäköisyys (0,2). Tämä tulos saadaan vähentämällä 1-p.
Kun olemme määritelleet kaikki muuttujamme, korvataan yksinkertaisesti kaava.
Kertoimen osoittaja saadaan kertomalla 4 * 3 * 2 * 1 = 24 ja nimittäjässä 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Siksi kertoimen tulos olisi 24/6 = 4 .
Kannattimen ulkopuolella on kaksi numeroa. Ensimmäinen olisi 0,8 3 = 0,512 ja toinen 0,2 (koska 4-3 = 1 ja mikä tahansa numero, joka on nostettu 1: een, on sama).
Siksi lopputuloksemme olisi: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Jos kerrotaan sadalla, on 40,96% todennäköisyys, että 3 neljästä ystävästä on nähnyt MM-finaalin ottelun.