Kolmion painopiste on kohta, jossa kuvan mediaanit leikkaavat. Se tunnetaan myös nimellä centroid.
On syytä muistaa, että mediaani on segmentti, joka yhdistää kolmion kärjen sen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Siten jokaisella kolmiolla on kolme mediaania.
Esimerkiksi yllä olevassa kolmiossa painopiste on piste O, mediaanien ollessa segmentit AF, BD ja CE.
Tärkeä painopisteen ominaisuus on, että sen etäisyys jokaisesta kärjestä on kaksinkertainen vastakkaiselle puolelle.
Sen selittämiseksi paremmin jokaisessa mediaanissa voidaan erottaa kaksi osaa:
- Etäisyys kärjestä painopisteeseen, joka on 2/3 mediaanin pituudesta
- Loput 1/3, joka on etäisyys painopisteestä vastakkaisen puolen keskipisteeseen.
Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa on totta, että:
Kuinka löytää kolmion painopiste
Kolmion painopisteen löytämiseksi meidän on otettava huomioon, että kun tiedämme kolmion kolmen kärjen koordinaatit, painopisteen koordinaatit vastaavat sen aritmeettista keskiarvoa. Oletetaan, että pisteet ovat:
Sitten painopisteen koordinaatit, joita kutsumme O: ksi, olisivat:
Nyt on myös mahdollista löytää painopiste, jos meillä on yhtälöt linjoille, jotka sisältävät vähintään kaksi mediaaneista.
Muista, että analyyttisessä geometriassa viiva voidaan ilmaista ensimmäisen kertaluvun algebrallisena yhtälönä seuraavasti:
y = xm + b
Esitetyssä yhtälössä y on koordinaattiakselin (pystysuora) koordinaatti, x on koordinaatti abscissa-akselilla (vaakasuora), m on kaltevuus (kaltevuus), joka muodostaa viivan abscissa-akseliin nähden, ja b on piste, jossa viiva leikkaa ordinaatti-akselin.
Ymmärrämme yllä olevaa paremmin tarkastelemalla esimerkkiä.
Esimerkki painopisteestä
Oletetaan, että meillä on kolmio, josta tunnemme kaksi sen kärkeä:
A (0,4) ja B (-2,1)
Nyt tiedetään edelleen, että vastakkaisen kärkipisteen A keskipiste on (3,1) ja kärkipisteen B vastapuolen keskipiste on (4, 2,5). On syytä selventää, että käytämme puolipistettä, jotta emme sekoittaisi desimaaleja erottavaan pilkkuun.
Ensin löydetään viivan yhtälö, joka sisältää kärjestä A alkavan mediaanin, ottaen huomioon, että kaltevuuden on aina oltava sama pisteestä toiseen kulkiessa. Kaltevuus on pystyakselin vaihtelu vaaka-akselin vaihtelun välillä:
Oletetaan, että viiva kulkee pisteen (x1, y1), joka on kärkipiste A (0, 4), ja pisteen (x2, y2) läpi, joka on sen vastakkaisen sivun (3, 1).
Sitten teemme saman kärkipisteen B (-2,1) ja sen vastakkaisen sivun keskipisteen (-4, -2,5) kanssa:
Seuraava vaihe tasaamme kahden yhtälön oikean puolen, jotka löydettiin ratkaistavaksi X-akselin arvolle, kun molemmat yhtyvät:
Sitten ratkaistaan missä tahansa yhtälöistä löytääksesi y: n arvon:
Siksi kolmion painopiste on suorakulmion tason piste (2,2).