Keskihajonta tai keskihajonta on mitta, joka antaa tietoa muuttujan keskimääräisestä hajonnasta. Keskihajonta on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
Tämän käsitteen ymmärtämiseksi meidän on analysoitava kahta peruskäsitettä.
- Matemaattinen odotus, odotettu arvo tai keskiarvo: Se on datasarjojemme keskiarvo.
- Poikkeama: Poikkeama on sarjan minkä tahansa arvon ja keskiarvon välinen ero.
Nyt ymmärrettäessä nämä kaksi käsitettä, keskihajonta lasketaan samalla tavalla kuin keskiarvo. Mutta ottaen poikkeamat arvoiksi. Ja vaikka tämä päättely on intuitiivinen ja looginen, siinä on virhe, jonka aiomme tarkistaa seuraavalla kaaviona.
Edellisessä kuvassa on 6 havaintoa, ts. N = 6. Havaintojen keskiarvo on kuvaajan keskellä oleva musta viiva ja on 3. Ymmärrämme poikkeamalla minkä tahansa mahdollisen eron havainnoista ja mustasta viivasta. Joten meillä on 6 poikkeamaa.
- Poikkeama -> (2-3) = -1
- Poikkeama -> (4-3) = 1
- Poikkeama -> (2-3) = -1
- Poikkeama -> (4-3) = 1
- Poikkeama -> (2-3) = -1
- Poikkeama -> (4-3) = 1
Kuten voimme nähdä, jos lisätään 6 poikkeamaa ja jaetaan N: llä (6 havaintoa), tulos on nolla. Logiikan mukaan keskihajonta olisi 1. Mutta keskiarvon matemaattinen ominaisuus suhteessa sen muodostaviin arvoihin on, että poikkeamien summa on nolla. Kuinka korjaamme tämän? Poikkeamien neliöiminen
SijoitusKaavat keskihajonnan laskemiseksi
Ensimmäinen on neliöimällä poikkeamat, jakamalla havaintojen kokonaismäärä ja lopuksi ottamalla neliöjuuri kumoamaan neliö siten, että:
Vaihtoehtoisesti olisi toinen tapa laskea se. Se olisi keskiarvo poikkeamien absoluuttisten arvojen summasta. Toisin sanoen, käytä seuraavaa kaavaa:
Tämä kaava ei kuitenkaan ole vaihtoehto keskihajonnalle, koska se antaa erilaisia tuloksia. Itse asiassa yllä oleva kaava on poikkeama keskiarvosta. Keski- tai keskihajonnalla ja keskihajonnalla on yhtäläisyyksiä, mutta ne eivät ole samat. Tämä viimeinen muoto tunnetaan keskimääräisenä poikkeamana.
Esimerkki keskihajonnan laskemisesta
Aiomme tarkistaa, kuinka missä tahansa kahdesta esitetystä kaavasta keskihajonnan tai keskihajonnan tulos on sama.
Varianssikaavan (neliöjuuri) mukaan:
Absoluuttisen arvon kaavan mukaan:
Aivan kuten intuitiivinen laskenta saneli. Keskimääräinen poikkeama on 1. Mutta emmekö sanoneet, että absoluuttisen arvon ja keskihajonnan kaava antoi erilaiset arvot? Kyllä, mutta on olemassa poikkeus. Ainoa tapaus, jossa keskihajonta ja poikkeama keskiarvosta antaa saman tuloksen, on tapaus, jossa kaikki poikkeamat ovat yhtä suuria kuin 1.
Keskihajonnan suhde varianssiin
Lyhyesti sanottuna varianssi ei ole muuta kuin keskihajonta neliöinä. Tai mitä tulee samaan asiaan, keskihajonta on varianssin neliöjuuri. Ne liittyvät toisiinsa seuraavasti:
Tämän kuvan jälkeen on selvää, että koko neliöjuuren sisällä oleva kaava on varianssi. Syy sinun on ymmärrettävä, että tämä osa tunnetaan varianssina, että sitä käytetään muissa kaavoissa laskettaessa muita mittareita. Joten vaikka keskihajonta on intuitiivisempi tulosten tulkinnassa, varianssin laskeminen on välttämätöntä.