Vektorien lineaarinen yhdistelmä tapahtuu, kun vektori voidaan ilmaista muiden lineaarisesti riippumattomien vektorien lineaarisena funktiona.
Toisin sanoen, vektorien lineaarinen yhdistelmä on, että vektori voidaan ilmaista lineaarisena yhdistelmänä muista vektoreista, jotka ovat lineaarisesti toisistaan riippumattomia.
Vektoreiden lineaarisen yhdistelmän vaatimukset
Vektorien lineaarisen yhdistelmän on täytettävä kaksi vaatimusta:
- Että vektori voidaan ilmaista muiden vektorien lineaarisena yhdistelmänä.
- Olkoon näiden muiden vektorien oltava lineaarisesti riippumattomia toisistaan.
Lineaarinen yhdistelmä laskennassa
Perusmatematiikassa olemme tottuneet näkemään usein lineaarisia yhdistelmiä ymmärtämättä sitä. Esimerkiksi viiva on yhdistelmä yhdestä muuttujasta suhteessa toiseen siten, että:
Mutta juuret, logaritmit, eksponentiaaliset funktiot … eivät ole enää lineaarisia yhdistelmiä, koska suhteet eivät pysy vakioina koko funktiolle:
Joten, jos puhumme vektorien lineaarisesta yhdistelmästä, yhtälön rakenteella on seuraava muoto:
Kun puhumme vektoreista ja edellinen yhtälö viittaa muuttujiin, vektoreiden yhdistelmän rakentamiseksi meidän on vain korvattava muuttujat vektoreilla. Olkoon seuraavat vektorit:
Joten voimme kirjoittaa ne lineaarisena yhdistelmänä seuraavasti:
Vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia toisistaan.
Kreikan kirje lambda toimii parametrina m suoran yleisessä yhtälössä. Lambda on mikä tahansa reaaliluku, ja jos sitä ei näy, sen arvon sanotaan olevan yhtä suuri kuin 1.
Se, että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, tarkoittaa, ettei yksikään vektoreista voida ilmaista muiden lineaarisena yhdistelmänä. Tiedetään, että riippumattomat vektorit muodostavat tilan perustan ja riippuvainen vektori kuuluu myös tähän tilaan.
Suuntakulmainen esimerkki
Oletetaan, että meillä on kolme vektoria ja haluamme ilmaista ne lineaarisena yhdistelmänä. Tiedämme myös, että jokainen vektori tulee samasta kärjestä ja muodostaa kyseisen kärjen abscissan. Geometrinen kuvio on yhdensuuntainen. Koska ne ilmoittavat meille, että geometrinen kuvio, jonka nämä vektorit muodostavat, on suuntaissärmän muotoinen, niin vektorit rajaavat kuvan kasvot.
Ensinnäkin meidän on tiedettävä, ovatko vektorit lineaarisesti riippuvaisia. Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, emme voi muodostaa niistä lineaarista yhdistelmää.
Kolme vektoria:
Mistä voimme tietää, ovatko vektorit riippuvaisia lineaarisesti, jos ne eivät anna meille tietoja koordinaateistaan?
No, käyttämällä logiikkaa. Jos vektorit olisivat lineaarisesti riippuvaisia, niin yhdensuuntaisen putken kaikki pinnat romahtaisivat. Toisin sanoen ne olisivat samat.
Siksi voimme ilmaista uuden vektorin w edellisten vektorien lineaarisen yhdistelmän tuloksena:
Vektori, joka edustaa edellisten vektorien yhdistelmää:
Graafisesti:
