Satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus on luku, joka ilmaisee tämän muuttujan edustaman ilmiön keskiarvon.
Matemaattinen odotus, jota kutsutaan myös odotetuksi arvoksi, on yhtä suuri kuin satunnaisen tapahtuman olemassaolon todennäköisyyksien summa kerrottuna satunnaisen tapahtuman arvolla. Toisin sanoen se on tietojoukon keskiarvo. Tämä, kun otetaan huomioon, että termi matemaattinen odotus on keksitty todennäköisyysteoriassa.
Matematiikassa tapahtuneen tapahtuman keskiarvoa kutsutaan matemaattiseksi keskiarvoksi. Erillisissä jakaumissa, joilla on sama todennäköisyys kussakin tapahtumassa, aritmeettinen keskiarvo on sama kuin matemaattinen odotus.
Esimerkki matemaattisesta odotuksesta
Katsotaanpa yksinkertainen esimerkki sen ymmärtämiseksi.
Kuvitellaan kolikko. Kaksi päätä, päätä ja häntää. Mikä olisi matemaattinen odotus (odotettu arvo), että se tulee ulos?
Matemaattinen odotus laskettaisiin todennäköisyydellä, että kääntäen kolikkoa hyvin monta kertaa, se tulee päihin.
Koska kolikko voi laskeutua vain yhteen näistä kahdesta sijainnista ja molemmilla on sama todennäköisyys tulla ulos, sanomme, että matemaattinen odotus, että se tulee ulos päistä, on yksi kahdesta tai mikä on sama, 50% aika.
Teemme testin ja käännämme kolikon 10 kertaa. Oletetaan, että kolikko on täydellinen.
Pyörii ja tulos:
- Kallis.
- Ylittää.
- Ylittää.
- Kallis.
- Ylittää.
- Kallis.
- Kallis.
- Kallis.
- Ylittää.
- Ylittää.
Kuinka monta kertaa se on ollut päitä (laskemme C: t)? 5 kertaa Kuinka monta kertaa hännät ovat tulleet ulos (laskemme X: t)? 5 kertaa. Todennäköisyys olla päitä on 5/10 = 0,5 tai prosentteina 50%.
Kun tapahtuma on tapahtunut, voimme laskea matemaattisen keskiarvon siitä, kuinka monta kertaa kukin tapahtuma on tapahtunut. Kallis puoli on tullut yksi kahdesta kertaa, eli 50% ajasta. Keskiarvo vastaa matemaattista odotusta.
Matemaattisen odotuksen laskeminen
Matemaattinen odotus lasketaan käyttämällä kunkin tapahtuman todennäköisyyttä. Kaava, joka muodostaa tämän laskelman, ilmoitetaan seuraavasti:
Missä:
- X = tapahtuman arvo.
- P = Tapahtuman todennäköisyys.
- i = Aika, jolloin tämä tapahtuma tapahtuu.
- N = Jaksojen tai havaintojen kokonaismäärä.
Tapahtuman todennäköisyys ei ole aina sama kuin kolikoilla. On lukemattomia tapauksia, joissa yksi tapahtuma esiintyy todennäköisemmin kuin toinen. Siksi käytämme P: tä. Kaavassa on kerrottava myös tapahtuman arvolla laskettaessa matemaattisia lukuja. Alla on esimerkki.
Mihin matemaattista odotusta käytetään?
Matemaattista odotusta käytetään kaikilla tieteenaloilla, joille todennäköisyystapahtumien läsnäolo on luontaista. Tieteenalat, kuten teoreettiset tilastot, kvanttifysiikka, ekonometria, biologia tai rahoitusmarkkinat. Suuri määrä maailmassa tapahtuvia prosesseja ja tapahtumia on epätarkkoja. Selkeä ja helposti ymmärrettävä esimerkki on osakemarkkinoiden esimerkki.
Osakemarkkinoilla kaikki lasketaan odotettujen arvojen perusteella, miksi odotetut arvot? Koska toivomme tapahtuvan juuri sitä, mutta emme voi vahvistaa sitä. Kaikki perustuu todennäköisyyksiin, ei varmuuteen. Jos omaisuuden tuoton odotettu arvo tai matemaattinen odotus on 10% vuodessa, se tarkoittaa, että aikaisempien tietojen perusteella on todennäköisintä, että tuotto on jälleen 10%. Jos otamme tietenkin huomioon matemaattisen odotuksen menetelmänä sijoituspäätöksemme tekemisessä.
Rahoitusmarkkinoiden teorioissa monet käyttävät tätä matemaattisen odotuksen käsitettä. Näiden teorioiden joukossa on se, jonka Markowitz kehitti tehokkaille lompakoille.
Lukuina, yksinkertaistamalla paljon, oletetaan, että rahoitusvarojen tuotot ovat seuraavat:
Kannattavuus vuosina 1, 2, 3 ja 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Odotettu arvo olisi tuottojen summa kerrottuna niiden todennäköisyydellä tapahtua. Todennäköisyys, että kukin kannattavuus "tapahtuu", on 0,25. Meillä on neljä havaintoa, neljä vuotta. Joka vuosi heillä on sama todennäköisyys toistaa itseään.
Toivo = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Kun otetaan huomioon nämä tiedot, sanotaan, että omaisuuden tuoton odotetaan olevan 11,25%.
Elinajanodote