Puolueeton estimaattori on sellainen, jonka matemaattinen odotus on sama kuin sen parametrin arvo, jonka haluat arvioida. Jos ne eivät täsmää, estimaattorin sanotaan olevan puolueellinen.
Syy puolueettoman estimaattorin etsimiseen on, että parametri, jonka haluamme arvioida, on hyvin arvioitu. Toisin sanoen, jos haluamme arvioida tietyn jalkapalloilijan keskimääräiset tavoitteet peliä kohden, meidän on käytettävä kaavaa, joka antaa meille arvon, joka on mahdollisimman lähellä todellista arvoa.
Jos estimaattorin odotus ei ole sama kuin parametrin todellinen arvo, estimaattorilla sanotaan olevan puolueellisuus. Bias mitataan estimaattorin odotusarvon ja todellisen arvon välisenä erona. Matemaattisesti se voidaan todeta seuraavasti:
Edellä olevasta kaavasta ensimmäinen ja viimeinen osa ovat selvät. Eli estimaattorin odotus on yhtä suuri kuin parametrin todellinen arvo. Jos tämä tasa-arvo säilyy, estimaattori on puolueeton. Matemaattisesti abstraktimpi keskiosa selitetään seuraavassa kappaleessa.
Kaikkien arvioiden keskiarvo, jotka estimaattori voi tehdä kullekin eri näytteelle, on yhtä suuri kuin parametri. Esimerkiksi, jos meillä on 30 erilaista näytettä, on normaalia, että estimaattori (vaikka vain vähän) tarjoaa jokaisessa näytteessä erilaisia arvoja. Jos otamme estimaattorin 30 arvon keskiarvo 30 eri näytteestä, estimaattorin tulisi palauttaa arvo, joka on yhtä suuri kuin parametrin todellinen arvo.
PistearvioEstimaattorin puolueellisuus
Puolueetonta estimaattoria ei aina löydy tietyn parametrin laskemiseksi. Joten estimaattorimme voi olla puolueellinen. Se, että estimaattorilla on ennakkoluuloja, ei tarkoita, että se ei ole kelvollinen. Se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että se ei sovi yhtä hyvin kuin tilastollisesti haluaisimme.
Siitä huolimatta, vaikka se ei sovi niin hyvin kuin haluaisimme, joskus meillä ei ole muuta vaihtoehtoa kuin käyttää puolueellista estimaattoria. Siksi on elintärkeää, että tiedämme tämän puolueellisuuden koon. Jos tiedämme siitä, voimme käyttää näitä tietoja tutkimuksemme päätelmissä. Matemaattisesti poikkeama määritellään seuraavasti:
Edellä olevassa kaavassa bias on nollasta poikkeava arvo. Jos se olisi nolla, estimaattori olisi puolueeton.
Esimerkki puolueettomasta estimaattorista
Esimerkki puolueettomasta estimaattorista löytyy keskiarvon estimaattorista. Tämä estimaattori tunnetaan tilastoissa otoskeskiarvona. Jos käytämme alussa kuvattua matemaattista kaavaa, päätellään, että otoskeskiarvo on puolueeton estimaattori. Ennen käyttöä meidän on otettava huomioon seuraavat tiedot:
Merkitään X: tä palkin kanssa näytekeskiarvon yläpuolella.
Näytekeskiarvon kaava on niiden n arvon summa, jotka olemme jakaneet arvojen määrällä. Jos meillä on 20 dataa, n on yhtä kuin 20. Meidän on lisättävä 20 datan arvot ja jaettava se 20: llä.
Yllä oleva merkintä tarkoittaa otoksen keskiarvon odotusta tai odotettua arvoa. Voidaan sanoa, että se lasketaan otoksen keskiarvon keskiarvona. Tässä mielessä oikean matemaattisen tekniikan avulla voimme päätellä seuraavat:
Estimaattorin odotus on sama kuin mu, joka on parametrin todellinen arvo. Eli todellinen keskiarvo. Kaikki sanotaan, jotkut matematiikan peruskäsitteet ovat välttämättömiä edellisen kehityksen ymmärtämiseksi.
Vastaavasti voisimme yrittää tehdä saman otosvarianssin estimaattorilla. Seuraavassa S-neliö on näytevarianssi ja kreikkalainen kirjain sigma (joka näyttää o-kirjaimelta, jonka keppi on oikealla) on todellinen varianssi.
Ero yllä olevasta kaavasta on ensimmäisen kaavan toinen osa. Nimittäin:
Päätelmämme on, että otosvarianssi populaatiovarianssin estimaattorina on puolueellinen. Sen esijännitys on yhtä suuri kuin yllä ilmoitettu arvo. Siten se riippuu populaation varianssista ja otoksen koosta (n). Huomaa, että jos n (näytekoko) tulee hyvin suureksi, esijännitys yleensä nollaa.
Jos kun otos on yleensä erittäin suuri, estimaattori lähestyy parametrin todellista arvoa, niin puhumme asymptoottisesti puolueettomasta estimaattorista.