Pietarin paradoksi on paradoksi, jonka Nicolaus Bernoulli on havainnut ja jolla on syy olla uhkapeli. Tämä paradoksi kertoo meille, että päätöksenteossa kaikki vedot hyväksytään niiden arvosta riippumatta, vaikka mainittu arvo osoittaa meille, että se ei ole järkevä päätös.
Pietarin paradoksi, meidän ymmärtääksemme sen oikein, oli paradoksi, jonka Nicolaus Bernoulli kuvaili rahapelien havaitsemisen jälkeen, minkä vuoksi tämä paradoksi on olemassa.
PeliteoriaTässä mielessä paradoksi kertoo meille, että muotoiltujen päätösten teoria osoittaa meille, että rationaalinen päätös vedonlyöntipelissä on kaikki riippumatta siitä, kuinka suureksi jokaisen vedon oletetaan. Analysoimalla tätä tilannetta oikein ja tarkkailemalla teoriaa tarkasti, huomaamme, ettei mikään rationaalinen olento haluaisi päättää lyödä vetoa rahamäärällä, joka on lähellä ääretöntä, vaikka teoria osoittaa sen olevan järkevä. Tästä syystä syntyy paradoksi.
Aluksi paradoksaali on Nicolaus Bernoulli, kuten käy ilmi kirjeestä, jonka hän lähetti ranskalaiselle aristokraatille ja matemaatikolle Pierre de Montmortille 9. syyskuuta 1713.
Koska Nicolausin tutkimus ei kuitenkaan tuottanut tuloksia, hän esitti paradoksin serkkulleen Daniel Bernoullille vuonna 1715, joka oli hollantilaista alkuperää oleva matemaatikko ja Baselin yliopiston rehtori. Hän tapasi Pietarissa merkittävän tutkijaryhmän kanssa ja vuosien tutkimus, joka julkaisi vuonna 1738 uuden mittausjärjestelmän teoksessaan ”Uuden teorian esittely riskien mittaamisessa”.
Danielin ehdottama malli, toisin kuin Nicolauksen ehdottama, luo perustan sille, mikä myöhemmin tarkentaa ja täydentää odotetun hyödyllisyyden teoriaa.
Pietarin paradoksikaava
Nicolaus Bernoullin serkulleen ja Pierre de Montmortille ehdottama lääkemuoto on seuraava:
Kuvitellaan uhkapeliä, johon pelaajan on tietysti maksettava summa osallistumiseen.
Oletetaan, että pelaaja lyö vetoa hännistä ja heittää kolikkoa peräkkäin hännän saakka. Hännän jälkeen peli lopetetaan ja pelaaja saa $ 2 n.
Joten, jos hännät, pelaaja voittaa ensin 2 1, joka on 2 dollaria. Mutta jos hännät taas, se saa 2 2, joka on 4 dollaria, ja niin edelleen. Jos se tulee jälleen ulos, se on 8 dollaria, mikä vastaa 2 3; kun taas se tulee ulos neljännen kerran, palkinto on 16 dollaria, mikä on edustus 2 4.
Nicolausin kysymys oli siis seuraava: Ottaen huomioon edellä mainitun järjestyksen ja voiton, kuinka paljon pelaaja olisi valmis maksamaan pelistä menettämättä järkevyyttä?
Esimerkki Pietarin paradoksista
Ottaen huomioon Nicolausin ehdottaman sanamuodon ja epäilyn, jonka hän esitti ranskalaiselle matemaatikolle ja serkulleen, katsotaanpa tämän paradoksin syy esimerkiksi ymmärtämään, mitä tarkoitamme.
Ensinnäkin meidän on tiedettävä, että ennen pelin alkua meillä on ääretön määrä mahdollisia tuloksia. Vaikka todennäköisyys on 1/2, hännät eivät välttämättä tule ulos vasta 8. rullalla.
Siksi todennäköisyys, että tämä risti näkyy heitolla k, on:
Pk = 1 / 2k
Myös voitto on 2k.
Kehityksen jatkuessa ensimmäisen rullan ensimmäiset hännät antavat voiton 21 (2 dollaria) ja todennäköisyys 1/2. 2. yrityksen hännillä on vahvistus 22 (4 dollaria) ja todennäköisyys 1/22; taas, jos hänellä on kolmas yritys, pelaajan voitto on 23 (8 dollaria) ja todennäköisyys 1/23. Kuten näemme, suhde jatkuu, kunhan lisäämme juoksuja.
Ennen kuin jatkat, on huomattava, että päätöksenteossa kutsumme matemaattista odotusta (EM) tai pelin odotettua voittoa palkintojen summaksi, joka liittyy kaikkiin mahdollisiin pelin tuloksiin, ja kaikkia niitä painottamalla todennäköisyys, että jokainen näistä tuloksista tapahtuu.
Jos otamme huomioon tämän paradoksin osoittavan lähestymistavan, näemme, että pelattaessa todennäköisyys voittaa 2 dollaria on 1/2, mutta lisäksi todennäköisyys voittaa 4 on 1/4, kun taas voittaa 8 dollaria on 1/8. Tämä, kunnes saavutetaan 64 dollarin kaltaisia tilanteita, todennäköisyys tässä tapauksessa on 1/64.
Näin ollen, jos laskemme näillä tuloksilla matemaattisen odotuksen tai sen, mitä tiedämme pelin odotetuksi voitoksi, meidän on lisättävä kaikkien mahdollisten tulosten voitot painotettuna niiden esiintymisen todennäköisyydellä, joten tulos osoittaa meille äärettömän arvo.
Jos noudatamme valinnan teoriaa, se kertoo meille, että meidän tulisi lyödä vetoa mistä tahansa pelkästään siitä tosiasiasta, että jokainen päätös on meille suotuisa. Tosiasia, että kyseessä on paradoksi, johtuu siitä, että rationaalisesti pelaaja ei lyö vetoa loputtomiin, vaikka teoria pakottaisi häntä tekemään niin.
Näkyvä paradoksi
Monet ovat olleet matemaatikkoja, jotka ovat yrittäneet tulkita Bernoullin ehdottaman paradoksin, mutta on myös monia, jotka eivät ole kyenneet ratkaisemaan sitä.
Niinpä on olemassa lukuisia esimerkkejä, jotka osoittavat meille, kuinka paradoksi on yrittänyt ratkaista matemaatikot, jotka ovat käsitelleet sekä pelin rakennetta että yksilöiden päätöksiä. Tähän mennessä emme kuitenkaan vieläkään löydä pätevää ratkaisua.
Ja siksi, että saadaksemme käsityksen tämän paradoksin monimutkaisuudesta, ottaen huomioon tässä esimerkissä esitetyn valintateorian, oletamme mahdolliseksi palkinnoksi laskennan jälkeen loputtoman määrän kolikoita, jotka jopa olettaen, että se oli mahdollista, se olisi ristiriidassa itse rahajärjestelmän kanssa, koska se on rahaa, toisin kuin paradoksaali sanoo, rajoitettu.
