Taylor-sarja on joukko voimia, joka ulottuu äärettömyyteen, jossa kukin lisäyksistä nostetaan edellistä suurempaan voimaan.
Jokainen Taylor-sarjan elementti vastaa funktion f n: ää johdannaista, joka on arvioitu pisteessä a n: n (n!) Kertoimen välillä, ja tämä kaikki kerrottuna x-a: lla, joka on nostettu tehoon n.
Muodollisesti tai matemaattisesti Taylor-sarjalla on seuraava muoto:
Taylor-sarjan ymmärtämiseksi paremmin on pidettävä mielessä, että a on piste funktion f tangentilla. Mainittu viiva voidaan puolestaan ilmaista lineaarisena funktiona, jonka kaltevuus on sama kaltevuus kuin funktion f kohdassa a.
Toinen mielessä pidettävä seikka on, että f on erilainen funktio n kertaa pisteessä a. Jos n on ääretön, se on äärettömän erilainen funktio.
Eräässä tapauksessa, kun a = 0, sarjaa kutsutaan myös McLaurin-sarjaksi.
Ero sarjan ja Taylorin polynomin välillä
Ero sarjan ja Taylorin polynomin välillä on se, että ensimmäisessä tapauksessa puhumme äärettömästä sekvenssistä, kun taas toisessa se on äärellinen sarja.
Täten Taylorin polynomi voidaan määritellä funktion polynomi-likiarvoksi n kertaa erottuva tietyssä pisteessä (a).
Taylor-sarjan esimerkkejä
Joitakin esimerkkejä Taylor-sarjan muunnelmista ovat:
- Eksponentti funktio:
- Trigonometriset toiminnot:
Taylor-sarjan sovellukset
Jotkut Taylor-sarjan sovellukset ovat:
- Raja-analyysi.
- Kiinteiden tai tuolipisteiden analysointi toiminnoissa.
- Soveltaminen L'Hopitalin lauseessa (rajojen ratkaisemiseksi).
- Kokonaisarvio.
- Arvio tiettyjen sarjojen lähentymisistä ja eroavuuksista.
- Rahoitusvarojen ja tuotteiden analyysi, kun hinta ilmaistaan epälineaarisena funktiona.
