Joukko-teoria on matematiikan (ja logiikan) haara, joka on omistettu joukko-ominaisuuksien ja niiden välillä suoritettavien toimintojen tutkimiseen.
Toisin sanoen joukko-teoria on joukkoihin keskittyvä tutkimusalue. Siksi sen tehtävänä on analysoida sekä heillä olevia ominaisuuksia että niiden välisiä suhteita. Eli sen liitto, risteys, täydennys tai muu.
Meidän on muistettava, että joukko on ryhmittely elementtejä, olivatpa ne sitten numeroita, kirjaimia, sanoja, funktioita, symboleja, geometrisia kuvioita tai muita.
Joukon määrittämiseksi määritetään yleensä sen elementeille yhteinen ominaisuus. Esimerkiksi joukko A, jonka kokonaisluvut, positiiviset ja parilliset luvut ovat alle 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Joukko-teorian historia
Joukkoteorian historia voidaan jäljittää venäläistä alkuperää olevan saksalaisen matemaatikon Georg Cantorin työhön, jota pidetään tämän tieteenalan isänä.
Esimerkiksi Cantorin tutkimissa aiheissa erottuu ääretön joukko ja numeerinen joukko.
Cantorin ensimmäinen työ teoriasta on vuodelta 1874. Lisäksi on syytä mainita, että hänellä oli usein ajatustenvaihto matemaatikko Richard Dedekindin kanssa, joka osallistui luonnollisten lukujen tutkimiseen.
Numeeriset sarjat
Numeeriset joukot ovat erilaisia ryhmiä, joihin numerot luokitellaan niiden erilaisten ominaisuuksien mukaan. Se on abstrakti rakenne, jolla on tärkeä sovellus matematiikassa.
Numeeriset joukot ovat monimutkaisia, kuvitteellisia, todellisia, irrationaalisia, järkeviä, kokonaislukuja ja luonnollisia, ja ne voidaan havainnollistaa seuraavassa Venn-kaaviossa:
Monimutkaiset numerotKuvitteelliset luvutTodelliset luvutIrrationaaliset luvutRationaaliluvutKokonaisluvutLuonnolliset luvut
Aseta algebra
Joukkojen algebra kattaa suhteet, jotka voidaan luoda niiden välille.
Siten seuraavat toiminnot erottuvat:
- Sarjojen unioni: Kahden tai useamman joukon yhdistäminen sisältää jokaisen elementin, joka sisältyy ainakin yhteen niistä.
- Sarjojen leikkauspiste: Kahden tai useamman joukon leikkauspiste sisältää kaikki elementit, jotka näillä sarjoilla on yhteisiä tai joilla on yhteistä.
- Aseta ero: Yhden joukon ero suhteessa toiseen on yhtä suuri kuin ensimmäisen sarjan elementit miinus toisen elementit.
- Täydentävät sarjat: Joukon täydennys sisältää kaikki elementit, joita ei ole kyseisessä joukossa (mutta jotka kuuluvat toiseen viitesarjaan).
- Symmetrinen ero: Kahden sarjan symmetrinen ero sisältää kaikki elementit, jotka ovat yhdessä tai toisessa, mutta eivät molempia samanaikaisesti.
- Karteesinen tuote: Se on operaatio, joka johtaa uuteen sarjaan. Se sisältää elementteinä kahteen tai useampaan sarjaan kuuluvien elementtien järjestetyt parit tai sarakkeet (järjestetyt sarjat). Ne on järjestetty pareiksi, jos ne ovat kahta sarjaa, ja sarjoiksi, jos ne ovat enemmän kuin kaksi sarjaa.