Poisson-jakauma on erillinen todennäköisyysjakauma, joka mallintaa tiettyjen tapahtumien taajuutta kiinteän aikavälin aikana näiden tapahtumien keskimääräisen esiintymistiheyden perusteella.
Toisin sanoen Poisson-jakauma on erillinen todennäköisyysjakauma, jonka voimme tietää niiden todennäköisyyden vain tietäen tapahtumat ja niiden keskimääräisen esiintymistiheyden.
Poisson-jakelulauseke
Kun otetaan huomioon erillinen satunnaismuuttuja X, sanotaan, että sen taajuus voidaan arvioida tyydyttävällä tavalla Poisson-jakautumaan siten, että:
Toisin kuin normaalijakauma, Poisson-jakauma riippuu vain yhdestä parametrista, mu (merkitty keltaisella).
Mu ilmoittaa odotetun määrän tapahtumia, jotka tapahtuvat tietyllä aikavälillä. Kun puhumme jostakin "odotetusta", meidän on ohjattava se ajattelemaan keskiarvoa. Siksi mu on tapahtumien keskiarvo.
Sekä tämän jakauman keskiarvo että varianssi ovat erittäin tiukasti positiivisia.
Edustus
Kun otetaan huomioon Poisson-jakauma, jonka keskiarvo on 2, tiheyden todennäköisyysjakauma on seuraava:
Funktio määritetään vain x: n kokonaislukuarvoille.
Kaikki Poissonin tiheystodennäköisyysjakaumat eivät näytä samoilta, vaikka otos pysyisi samana. Jos muutamme keskiarvoa eli parametria, josta funktio riippuu, myös funktio muuttuu.
Todennäköisyystiheysfunktio (pdf)
Tämä funktio ymmärretään todennäköisenä, että satunnaismuuttuja X saa tietyn arvon x. Se on negatiivisen keskiarvon eksponentti kerrottuna havainnolle nostetulla keskiarvolla ja kaikki jaettuna havainnon kertoimella.
Kuten ilmoitettiin, jokaisen havainnon todennäköisyyden tuntemiseksi meidän on korvattava kaikki funktion havainnot. Toisin sanoen, x on ulottuvuuden n vektori, joka sisältää kaikki satunnaismuuttujan X havainnot. Keskiarvo olisi myös vektori, mutta yhden ulottuvuuden, siten että:
Kun olemme laskeneet todennäköisyydet, voimme yhdessä havaintojen kanssa piirtää todennäköisyystiheysjakauman.
Tarina
Tämän jakelun nimi on peräisin sen luojalta, ranskalaiselta matemaatikolta ja filosofilta Siméon-Denis Poissonilta (1781-1840), joka halusi mallintaa tapahtumien taajuuden kiinteällä aikavälillä. Hän osallistui myös suurten lukujen lain parantamiseen.
Sovellus
Poisson-jakaumaa käytetään operatiivisten riskien kentällä mallintamaan tilanteita, joissa operatiivinen menetys tapahtuu. Markkinariskissä Poisson-prosessia käytetään odotustiloihin finanssitransaktioiden välillä suurtaajuustietokannoissa. Luottoriski otetaan huomioon myös konkurssien määrän mallinnuksessa.
Esimerkki
Oletamme, että olemme talvikaudella ja haluamme hiihtää ennen joulukuuta. Todennäköisyys hiihtokeskusten avaamisesta ennen joulukuuta on 5%. 100 hiihtokeskuksesta haluamme tietää todennäköisyyden, että lähin hiihtokeskus avataan ennen joulukuuta. Tämän hiihtokeskuksen arvo on 6 pistettä.
Poissonin tiheyden todennäköisyysfunktion laskemiseksi tarvittavat tulot ovat datajoukko ja mu:
- Tietojoukko = 100 hiihtokeskusta.
- Mu = 5% * 100 = 5 on odotettu hiihtokeskusten lukumäärä tietojoukon perusteella.
Joten lähimmällä asemalla on 14,62% mahdollisuus, että se aukeaa ennen joulukuuta.
Taajuuden todennäköisyys