Odotettujen arvojen ominaisuudet

Satunnaismuuttujan odotettu arvo on matemaattisen algebran analoginen käsite, joka pohtii mainitun muuttujan havaintojoukon aritmeettista keskiarvoa.

Toisin sanoen satunnaismuuttujan odotettu arvo on arvo, joka näkyy useimmin kokeen toistamisen aikana.

Satunnaismuuttujan odotettujen arvojen ominaisuudet

Satunnaismuuttujan odotetulla arvolla on kolme ominaisuutta, jotka kehitämme alla:

Ominaisuus 1

Kaikille vakioille g tämän vakion odotettu arvo ilmaistaan ​​E (g): nä ja on sama vakio g. Matemaattisesti:

E (g) = g

Koska g on vakio eli se ei riipu mistä tahansa muuttujasta, sen arvo pysyy samana.

Esimerkki

Mikä on odotettu arvo 1? Toisin sanoen, minkä arvon annamme numerolle 1?

E (1) =?

Annamme arvon 1 numero 1: lle, eikä sen arvo muutu riippumatta siitä kuinka paljon vuotta kuluu tai luonnonkatastrofeja tapahtuu. Joten olemme tekemisissä vakiomuuttujan kanssa ja siksi:

E (1) = 1 tai E (g) = g

He voivat kokeilla muita numeroita.

Ominaisuus 2

Kaikille vakioille h ja k suoran h · X + k odotettu arvo on yhtä suuri kuin vakio h kerrottuna satunnaismuuttujan X odotuksella plus vakio k. Matemaattisesti:

E (h X + k) = h E (X) + k

Katso tarkkaan, eikö se muistuta sinua hyvin kuuluisasta suorasta? Täsmälleen regressioviiva.

Jos vaihdamme:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Omistaa:

Y = B₀ + B₁X

Kun kertoimet B arvioidaan₀ , B₁ eli B₀ , B₁ , nämä pysyvät samana koko näytteen kohdalla. Joten sovellamme ominaisuutta 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Täältä löydämme myös puolueettomuuden ominaisuuden, eli estimaattorin odotettu arvo on yhtä suuri kuin sen populaatioarvo.

Palaten kohtaan E (h · X + k) = h · E (X) + k, on tärkeää pitää mielessä, että Y on E (h · X + k), kun tehdään johtopäätöksiä regressioviivoista. Toisin sanoen olisi sanottava, että kun X kasvaa yhdellä, Y kasvaa puoli h yksikköä, koska Y on suoran h · X + k odotettu arvo.

Ominaisuus 3

Jos H on vakioiden vektori ja X on satunnaismuuttujien vektori, odotettu arvo voidaan ilmaista odotettujen arvojen summana.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Hei₁X₁ + h₂X₂ +… + H_nX_n) = h₁·ENTINEN₁) + h₂·ENTINEN₂) +… + H_n·ENTINEN_n)

Ilmaistuna summilla:

Tämä ominaisuus on erittäin hyödyllinen johdannaisille matemaattisten tilastojen alalla.