Eksponentiaalinen funktio on jatkuvan yhdistämisen perusta, joka on seurausta yhdistelmäyhdistelmän kiinnostuksen laskennan taajuuden rajattomasta kasvusta (kun p on ääretön).
Toisin sanoen eksponentiaalifunktio on yhdistelmäyhdistelmä, jossa korolaskelmien väliset ajanjaksot ovat äärettömän pienet (hyvin pienet).
Eksponenttifunktion kaava on:
Jatkuva yhdistäminen voidaan ilmaista
Kohtuulliset yhtäläisyydet jatkuvan isojen kirjainten ja eksponentiaalisen funktion välillä, eikö?
Määritämme jatkuvan isojen kirjainten muuttujat:
- Ct + 1: pääoma ajankohtana t + 1 (myöhemmin).
- Ct: pääoma ajankohtana t (nykyinen).
- it: korko ajankohtana t.
- p: sekoitustiheys tai jaksottavuus.
- t: aika.
Sovellukset
Rahoituksessa löydämme usein eksponentiaalisen funktion tulevaisuuden tulojen jatkuvan pääomituksen kaavassa ja joissakin ekonometrisissä regressioissa.
Taloustieteessä se ei ole niin suosittu, koska useimmissa mikrotaloudellisissa ja makrotaloudellisissa malleissa oletetaan, että tuotantotekijöiden marginaalituotot vähenevät. Näin ollen he olettavat, että tekijät seuraavat logaritmisia paluita ja palaavat siten eksponentiaalisen funktion vastaisesti.
Esimerkki eksponentiaalisista funktioista
Oletamme, että olemme amerikkalainen sijoittaja, joka haluaa rakentaa laskettelurinteen Pico Bolívariin, Venezuelaan. Alkuinvestointi on 100 miljoonaa dollaria 100 prosentin vuosikorolla. Tällä sijoittajalla on riittävä neuvotteluvoima määritellä sijoituksensa koron laskennan jaksotus.
Mitä vaihtoehtoa amerikkalainen sijoittaja haluaa?
Vastaamiseksi kysymykseen meidän on laskettava pääoma ajoissa t + 1 (Ct + 1) jonka sijoittaja saa.
Saatavilla olevat tiedot:
Ct: 100 miljoonaa dollaria
it: 100%
t: 1 (vuosi)
Ct + 1: ?
| Vaihtoehtoinen | TO | B | C | D. | JA | F |
| Säännöllisyys | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Korvataan tiedot, jotka meillä on kahdessa kaavassa (funktio exp. Ja jatkuva isojen kirjainten käyttö)
Käsittelemme tietoja välttäen MM: n.
Jaamme (Ct + 1) per 100 eksponenttifunktiossa pääoman vaikutuksen eliminoimiseksi. Tällä tavalla siirrämme pilkkua kaksi paikkaa eteenpäin. Näin ollen tämä vaikutus näkyy seuraavissa tulossarakkeissa.
Tulokset:
| Kaava | Jatkuva sekoitus | Eksponentti funktio |
| Säännöllisyys (p) tai (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Kun n tai p on yleensä ääretön, tässä tapauksessa 10000000, voimme nähdä, että arvot yhtenevät tiettyyn lukuun. Jatkuvaa yhdistämistä varten se on 271,8281 ja eksponentiaalista funktiota varten se on 2,718281. Nämä kaksi sarjaa yhtyvät toisiinsa ja.
Vastaus liikuntaan ratkaistu
Joten minkä vaihtoehdon amerikkalainen sijoittaja lopulta valitsee, jos useista jaksoista pääoma t + 1 (Ct + 1) pysähtyy tietyllä arvolla?
- Jos tämä sijoittaja kohtelee pääomaa erillisenä muuttujana, hän valitsee vaihtoehdon D. Koska vaihtoehdosta C pääoma t + 1 (Ct + 1) lähenee 271 miljoonaan dollariin.
- Jos tämä sijoittaja kohtelee pääomaa jatkuvana muuttujana, hän valitsee vaihtoehdon, jossa on enemmän jaksollisia jaksoja. Tässä tapauksessa vaihtoehto F. Vaikka sijoitus päätyisi lähentymään arvoa, sijoittaja ottaa huomioon kaikki desimaalit.
Tämä lähentyminen merkitsee, että pääoma on t + 1 (Ct + 1), joka on laskettu jatkuvan yhdistämiskaavan tai eksponenttifunktion avulla, seuraa pienenevää marginaalituotoa. Toisin sanoen (Ct + 1) voidaan ilmaista logaritmisena funktiona.
Kaavamaisesti:
- Säännöllisyys = eksponentiaalifunktio.
- Pääoma t + 1 (Ct + 1) = logaritmifunktio.
Graafinen esitys
Kaaviosta näet, kuinka eksponentiaalinen funktio, joka on äärettömän jatkuva, kasvaa paljon nopeammin kuin rajoitettu jatkuva isojen kirjainten käyttö. Kun puhumme jatkuvasta isoista kirjaimista, viittaamme eräänlaiseen yhdistettyyn isojen kirjainten käyttämiseen, mutta suuremmalla jaksollisuudella, koska käytännössä on mahdotonta hyödyntää etuja äärettömän vähän. Tarkoitan, emme voi hyödyntää jokaista sekuntia.