Toiminnalliset yhtälöt - mikä se on, määritelmä ja käsite

Funktionaaliset yhtälöt ovat niitä, joilla on toinen toiminto tuntemattomana. Toiminto, joka voidaan liittää algebralliseen toimintoon, kuten yhteenlasku, vähennyslasku, jako, kertolasku, teho tai juuri.

Myös funktionaaliset yhtälöt voidaan määritellä sellaisiksi, joita ei ole helppo pelkistää algebralliseksi funktioksi, tyyppiä f (x) = 0, niiden resoluutioksi.

Toiminnallisille yhtälöille on tunnusomaista, koska niiden ratkaisemiseksi ei ole yhtä tapaa. Lisäksi kyseinen muuttuja voi ottaa erilaisia ​​arvoja (näemme sen esimerkkien kanssa).

Esimerkkejä toiminnallisista yhtälöistä

Joitakin esimerkkejä toiminnallisista yhtälöistä ovat:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ ja²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

Edellisten kaltaisissa tapauksissa voidaan lisätä esimerkiksi se, että x kuuluu reaalilukujoukkoon eli x ∈ R (nolla voidaan sulkea pois).

Esimerkkejä toiminnallisista yhtälöistä

Katsotaanpa joitain esimerkkejä ratkaistuista funktionaalisista yhtälöistä:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Joten jos korvataan x: llä 1/2:

f (1/2 (1/2x)) = (1/2x) -3f (1/2x)

f (x) = (1/2x) -3f (1/2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Katsotaan nyt toinen esimerkki hieman vaikeammalla, mutta missä jatketaan samalla tavalla:

x²f (x) -f (5-x) = 3x… (1)

Tässä tapauksessa ratkaistaan ​​ensin f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x… (2)

Korvataan nyt x: llä 5-x yhtälössä 1:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²f. (5-x) -f (x) = 15-3x

Muistamme, että f (5-x) on yhtälössä 2:

(25-10x + x²). (x²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Cauchyn funktionaalinen yhtälö

Cauchyn toiminnallinen toiminto on yksi peruslaatuisimmista. Tällä yhtälöllä on seuraava muoto:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Olettaen, että x ja y ovat rationaalilukujen joukossa, tämän yhtälön ratkaisu kertoo meille, että f (x) = cx, missä c on mikä tahansa vakio, ja sama tapahtuu f (y): n kanssa.