Central Limit Theorem (TCL) on tilastoteoria, jonka mukaan riittävän suuren populaation satunnaisotoksen perusteella otosvälineiden jakauma seuraa normaalijakaumaa.
Lisäksi TCL toteaa, että otoksen koon kasvaessa otoksen keskiarvo tulee lähemmäksi populaation keskiarvoa. Siksi TCL: n avulla voimme määritellä tietyn populaation otoskeskiarvon jakauman tunnetulla varianssilla. Joten jakauma seuraa normaalijakaumaa, jos otoksen koko on riittävän suuri.
Keskirajalauseen pääominaisuudet
Keskirajalauseella on joukko erittäin hyödyllisiä ominaisuuksia tilastollisessa ja todennäköisyyskentässä. Tärkeimmät ovat:
- Jos otoskoko on riittävän suuri, näytevälineiden jakauma seuraa suunnilleen normaalijakaumaa. TCL pitää otosta suurena, kun sen koko on suurempi kuin 30. Siksi, jos näyte on suurempi kuin 30, näytekeskiarvolla on jakelutoiminto lähellä normaalia. Ja tämä on totta riippumatta siitä, missä muodossa jakelu toimii.
- Populaation keskiarvo ja otoksen keskiarvo ovat samat. Toisin sanoen kaikkien otosvälineiden jakauman keskiarvo on yhtä suuri kuin koko populaation keskiarvo.
- Näytekeskiarvojen jakauman varianssi on σ² / n. Mikä on populaation varianssi jaettuna otoksen koolla.
Se, että näytevälineiden jakauma muistuttaa normaalia, on erittäin hyödyllistä. Koska normaalijakaumaa on erittäin helppo soveltaa hypoteesitestien suorittamiseen ja luottamusvälien rakentamiseen. Tilastoissa jakauman normaali esiintyminen on melko tärkeää, koska monet tilastot edellyttävät tämän tyyppistä jakelua. Lisäksi TCL antaa meille mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä populaatiokeskiarvosta otoskeskiarvon kautta. Ja tämä on erittäin hyödyllistä, kun keinojen puutteen vuoksi emme voi kerätä tietoja koko väestöltä.
Esimerkki keskirajalausekkeesta
Kuvitelkaamme, että haluamme analysoida S&P 500 -indeksin historiallisen keskimääräisen tuoton, jossa tiedämme olevan noin 500 yritystä. Mutta meillä ei ole tarpeeksi tietoa analysoida kaikkia indeksin 500 yritystä. Tässä tapauksessa S&P 500: n keskimääräinen kannattavuus olisi väestön keskiarvo.
TCL: n jälkeen voimme nyt ottaa otoksen näistä 500 yrityksestä analyysin suorittamiseksi. Ainoa rajoituksemme on, että otoksessa on oltava yli 30 yritystä, jotta lause voidaan täyttää. Joten kuvitellaan, että valitsemme satunnaisesti 50 yritystä indeksistä ja toistamme prosessin useita kertoja. Esimerkissä noudatettavat vaiheet ovat seuraavat:
- Valitsemme noin 50 yrityksen otoksen ja saamme koko otoksen keskimääräisen kannattavuuden.
- Valitsemme jatkuvasti 50 yritystä ja saamme keskimääräisen kannattavuuden.
- Kaikkien valittujen otosten kaikkien keskimääräisten tuottojen jakauma arvioi normaalijakauman.
- Kaikkien valittujen otosten keskimääräiset tuotot arvioivat koko indeksin keskimääräiset tuotot. Kuten Central Limit Theorem osoittaa.
Siksi otoksen keskimääräisen tuoton perusteella voidaan lähestyä indeksin keskimääräistä tuottoa.