Bernoulli-jakauma on teoreettinen malli, jota käytetään edustamaan erillistä satunnaismuuttujaa, joka voi päättyä vain kahteen toisiaan poissulkevaan tulokseen.
Suositeltavat artikkelit: Bernoullin jakelu, Bernoullin esimerkki, näytetila ja Laplace-sääntö.
Bernoullin todennäköisyysfunktio
Määritämme z: n satunnaismuuttujaksi Z kerran tiedossa ja kiinteänä. Toisin sanoen Z muuttuu satunnaisesti (muotti pyörii ja pyörii yhdessä rullassa), mutta kun tarkkailemme sitä, korjaamme arvon (kun muotti putoaa pöydälle ja antaa tietyn tuloksen). Juuri sillä hetkellä kun arvioimme tuloksen ja annamme sille yhden (1) tai nollan (0) riippuen siitä, mitä pidämme "menestyksenä" vai ei "onnistumisena".
Kun satunnaismuuttuja Z on asetettu, se voi ottaa vain kaksi tiettyä arvoa: nolla (0) tai yksi (1). Tällöin Bernoulli-jakauman todennäköisyysjakaumatoiminto on nolla (0) vain, kun z on nolla (0) tai yksi (1). Päinvastainen tapaus olisi, että Bernoulli-jakauman jakautumistoiminto on nolla (0), koska z on mikä tahansa muu arvo kuin nolla (0) tai yksi (1).
Yllä oleva toiminto voidaan kirjoittaa uudestaan seuraavasti:
Jos korvataan z = 1 todennäköisyysfunktion ensimmäisessä kaavassa, näemme, että tulos on p, joka osuu toisen todennäköisyysfunktion arvoon, kun z = 1. Vastaavasti, kun z = 0, saadaan (1-p) mille tahansa p-arvolle.
Toiminnon hetket
Jakautumisfunktion momentit ovat erityisiä arvoja, jotka tallentavat jakautumismäärän vaihtelevasti. Tässä osiossa näytetään vain kaksi ensimmäistä momenttia: matemaattinen odotus tai odotettu arvo ja varianssi.
Ensimmäinen hetki: odotettu arvo.
Toinen hetki: varianssi.
Esimerkki Bernouillin hetkistä
Oletetaan, että haluamme laskea Bernoulli-jakauman kaksi ensimmäistä momenttia, jos todennäköisyys p = 0,6 on sellainen, että
Jossa D on erillinen satunnaismuuttuja.
Joten tiedämme, että p = 0,6 ja että (1-p) = 0,4.
- Ensimmäinen hetki: odotettu arvo.
Toinen hetki: varianssi.
Lisäksi haluamme laskea jakautofunktion, kun todennäköisyys p = 0,6. Sitten:
Ottaen huomioon todennäköisyysfunktion:
Kun z = 1
Kun z = 0
Sininen väri osoittaa, että osat, jotka yhtyvät molempien (vastaavien) tapojen välillä ilmaista Bernoulli-jakauman todennäköisyysjakautumistoiminto.