Cramér-Rao-sidos (CCR) on vähimmäisvarianssi, jonka säännöllisyysolosuhteissa yhden parametrin estimaattori voi saavuttaa.
Toisin sanoen etsimme varianssia, joka on lähinnä tätä alarajaa, jotta löydämme parhaan estimaattorin puolueettomuuden ja tehokkuuden ominaisuuksien mukaan.
On suositeltavaa lukea estimaattoreiden ominaisuudet
Näitä ominaisuuksia käytetään, kun meidän on valittava estimaattori ekonometrisen analyysin suorittamiseksi. Jos haluamme tulostemme olevan vähintäänkin vakuuttavia, meidän on vaadittava estimaattoria puolueettomaksi ja että sillä on pienin mahdollinen varianssi kaikista puolueettomista arvioista (hyötysuhde).
Vaikka otamme huomioon kaikki puolueettomat estimaattorit, voi etsiä minimivarianssiestimaattoria etsiessäsi toinen puolueeton estimaattori, jolla on vähemmän varianssia.
Jotta mikään puolueeton estimaattori, jolla on pienin varianssi, ei pääse meistä, me asetamme pienimmän tai pienemmän rajan, jota parametrin puolueettoman estimaattorin varianssi ei voi ylittää.
Katsomme vain puolueettomia estimaattoreita, koska puolueellisilla estimaattoreilla voi olla variansseja vähemmän kuin CCR.
Formulaatio
Määritämme:
f (X; Θ): Todennäköisyystiheysfunktio.
E (·): matemaattinen toivo.
I (Θ): Parametrin Fisher-tiedot.
Edustaa "informaation määrää" satunnaismuuttujan X havainnossa olevan parametrin arvosta.
Kaava:
Älä hätäänny! Mitä voimme nähdä tästä kaavasta ensi silmäyksellä?
- Voimme nähdä, että se on ei-tiukka epätasa-arvo (≥) tasa-arvon (=) sijaan. Tämä johtuu siitä, että joissakin tapauksissa emme löydä (ei ole olemassa) puolueetonta estimaattoria, joka saavuttaa CCR-sidoksen. Siksi sanomme, että etsimme puolueettoman estimaattorin varianssia, joka on mahdollisimman lähellä tätä alarajaa. Lisäksi CCR kertoo meille, mikä estimaattorin vähimmäisvarianssi on, tämän luvun alapuolella sitä ei löydy.
- Oikealla oleva osa (var (Θ ’) on parametrissamme olevan estimaatin varianssi.
- Vasemmalla oleva osa (1 / J (Θ)) on varianssin ylitsepääsemätön minimi.
- Jos etsimme (absoluuttista) minimia ator-estimaattorin varianssille, on loogista, että osittaiset johdannaiset (johdannainen respect: n suhteen) esiintyvät.
- Taloustieteessä osittaisia johdannaisia käytetään ensimmäisen ja toisen kertaluvun olosuhteissa hyötyfunktioiden optimoimiseksi: etsi suhteelliset ja absoluuttiset maksimit ja minimit.
- CCR käyttää parametrin first ensimmäistä osittaista derivaattia todennäköisyystiheysfunktiossa f (X; Θ)
- Laskennan helpottamiseksi CCR: n saamiseksi käytetään joissakin tapauksissa toista johdannaista ja vaihtoehtoisia Fisher-tietoja.
Arvioijia, joilla on puolueettomuus, varianssi on yhtä suuri kuin CCR, pidetään sitten tehokkaimpina. Vastaavasti niitä puolueettomia, joiden varianssi on lähempänä, pidetään suhteellisen tehokkaampina kuin muita arvioita (kauempana).