Poisson-prosessi on aikasarja, joka on rakennettu kokeista, joiden taajuus voidaan arvioida tyydyttävällä tavalla Bernoulli-jakaumaan ja riippuu vakioparametrista, jota kutsutaan intensiteetiksi.
Toisin sanoen, Poisson-prosessi on sarja kokeita, jotka seuraavat Bernoulli-jakaumaa ja riippuvat parametrista, joka osoittaa prosessin voimakkuuden.
Aikasarja on mukana, koska Poisson-jakauma on tarkoitettu mallintamaan tapahtumien taajuus kiinteän aikavälin aikana.
Koska perusta on Bernoulli-jakauma, erotetaan toisistaan menestys Y ei menestystä. Tässä on määritelty menestys kun tapahtuma, jota haluamme hallita, tapahtuu ja ei menestystä kun sitä ei tapahdu.
Parametri
Kreikkalaista kirjainta "lambda" käytetään Poisson-prosessin intensiteetin tai saapumisnopeuden tunnistamiseen.
Tämä parametri on vakio ja ehdottomasti positiivinen, eli aina suurempi kuin nolla.
Kaava
Kun otetaan huomioon pituuden aikaväli, t, ja tapahtumien saapumisaste, lambda, odotettu tapahtumien määrä kyseisellä aikavälillä on
Oletukset
Jotta Poisson-prosessi olisi toteutettavissa, on noudatettava seuraavia oletuksia:
- Menestymisen todennäköisyys hyvin pienellä ajanjaksolla on lambda-parametri kerrottuna kyseisellä ajanjaksolla.
- Useamman kuin yhden onnistuneen tapahtuman todennäköisyys asetetussa aikavälissä ei ole merkittävä.
Toisin sanoen todennäköisyys, että useampi kuin yksi koe onnistuu tiettynä ajanjaksona, on hyvin pieni, eikä siksi tärkeä tai ei merkittävä.
- Menestystapahtuman todennäköisyys määrätyn aikavälin aikana ei riipu aikaisemmin tapahtuneesta.
Toisin sanoen kukin onnistunut koe on riippumaton edellisestä kokeesta. Esimerkiksi kolikkoa käännettäessä yhden minuutin ajan, todennäköisyys, että se nousee päihin, ei riipu siitä, mitä heitettiin edelliselle käänteelle.
Sovellus
Poisson-prosessi tunnetaan tilastoissa stokastisena prosessina, joka yrittää tallentaa hyvin epätodennäköisiä tapahtumia yhtäjaksoisesti.
Esimerkiksi vakuutusalalla Poissonin prosessia voidaan käyttää vakuutusyhtiön tuhoutumisen todennäköisyyden laskemiseen.
Poissonin prosessiesimerkki
Oletamme, että haluamme laskea kalastamaan purjeveneiden kokonaismäärän puolessa tunnissa. Tiedämme, että keskimäärin 4 purjeveneä lähtee 5 minuutin välein.
Joten voimme sovittaa seuraavat:
Odotettavissa oleva määrä purjeveneitä, jotka lähtevät kalastamaan puolessa tunnissa, on:
24 purjeveneitä menee kalastamaan yhteensä puolen tunnin ajan, ottaen huomioon, että 4 purjeveneen odotetaan lähtevän 5 minuutin välein.