Bernoulli-jakauma on teoreettinen malli, jota käytetään edustamaan erillistä satunnaismuuttujaa, joka voi päättyä vain kahteen toisiaan poissulkevaan tulokseen.
Suositeltavat artikkelit: näytetila, Bernoullin jakauma ja Laplace-laki.
Bernoullin esimerkki
Oletamme, että olemme erittäin ratsastajan faneja pyöräilykilpailussa, jossa vain kaksi ratsastajaa kilpailee. Haluamme lyödä vetoa siitä, että välittäjä voittaa.
Joten jos voitat, se on "menestys" -tulos ja jos menetät, on "ei menestystä" -tulos. Kaavamaisesti:
Olemme käsitelleet tätä esimerkkiä kahtiajakkona. Toisin sanoen on vain kaksi mahdollista tulosta (tilanteen yksinkertaistamiseksi). Teoreettisista kirjoista löydämme tyypillisen esimerkin huijata kolikkoa, joka koostuu päiden tai hännän hankkimisesta. Koska mahdollisia lopputuloksia ei ole enää, parametrin p saamisesta tulee elementaarista.
Välittäjäesimerkissämme olisimme voineet myös pitää "epäonnistuneena" muun kuin ensimmäisen sijan saamista. Sitten parametri p muuttuisi ja se olisi, kuinka monta kertaa välittäjä voidaan ensin jakaa kaikkien positioiden lukumäärällä. Kaavamaisesti:
Tässä parametri p ei vaikuta aluksi kovin ilmeiseltä, mutta kyse on vain Laplace-lain soveltamisesta.
Oletetaan, että on vain 10 sijaintia, joissa juoksija voi saada vain yhden niistä kilpailussa. Sitten,
Harjoittele
Laske juoksijoiden jakautumistoiminto 10 juoksijan kilpailussa.
Bernoullin jakelutoiminto
- Lähestyä.
Määritämme kaksi arvoa, jotka Bernoulli-jakaumaa seuraava satunnaismuuttuja voi saada.
Z = 1, jos juoksija voittaa kilpailun = 1. sija = MENESTYS.
Z = 0, jos juoksija menettää kilpailun = ei 1. sija = EI MENNYT.
- Todennäköisyyksien osoittaminen ja laskeminen.
Kun olemme määrittäneet Z-arvot, osoitamme kokeen tuloksen todennäköisyydet:
Esimerkin yläpuolella olemme jo laskeneet todennäköisyydet Laplacen lain avulla. Tuloksena oli, että p = 1/10 ja (1-p) = 0,9.
- Jakautumisfunktion laskeminen.
Nyt meidän on vain korvattava edelliset muuttujat jakelutoiminnon kaavassa.
Voimme nähdä, että edelliset lausekkeet voidaan ilmaista myös tällä tavalla:
Näemme, että käytettäessä tavalla tai toisella onnistumisen todennäköisyys, toisin sanoen todennäköisyys, että juoksija voittaa kilpailun, on aina p = 1/10 ja todennäköisyys epäonnistumiselle, eli todennäköisyys, että hän häviää. kilpailu on myös aina (1-p) = 9/10.
Joten juoksija seuraa Bernoulli-jakaumaa todennäköisyydellä p = 0,1:
