Matriisien lineaarinen muunnos on lineaarinen operaatio matriisien kautta, jotka modifioivat tietyn vektorin alkuulottuvuutta.
Toisin sanoen voimme muokata vektorin ulottuvuutta kertomalla se millä tahansa matriisilla.
Lineaarimuunnokset ovat matriisin vektorien ja ominaisarvojen perusta, koska ne riippuvat lineaarisesti toisistaan.
Suositeltavat artikkelit: operaatiot matriiseilla, vektoreilla ja ominaisarvoilla.
Matemaattisesti
Määritämme matriisinC mikä tahansa mitasta 3 × 2 kerrottuna mitan vektorilla Vn = 2 siten, että V = (v1, v2).
Minkä ulottuvuuden tulosvektori on?
Matriisin tulon tuloksena saatu vektoriC3×2vektorin kanssaV2×1on ulottuvuuden 3 uusi V'-vektori.
Tämä muutos vektorin mitassa johtuu matriisin läpi tapahtuvasta lineaarisesta muunnoksesta C.
Käytännön esimerkki
Annetaan neliömatriisiR mitalla 2 × 2 ja vektorillaV ulottuvuus 2.
Vektorin ulottuvuuden lineaarinen muunnosV se on:
missä vektorin alkuulottuvuus V oli 2 × 1 ja nyt vektorin viimeinen ulottuvuus Sinä näet3 × 1. Tämä ulottuvuuden muutos saavutetaan kertomalla matriisi R.
Voidaanko nämä lineaarimuunnokset esittää graafisesti? No tottakai!
Esitämme tulosvektoria V 'tasossa.
Sitten:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Graafisesti
Graafista esitystä käyttävät ominaisvektorit
Kuinka voimme määrittää, että vektori on tietyn matriisin ominaisvektori vain tarkastelemalla kaaviota?
Määritämme matriisinD. ulottuvuus 2 × 2:
Ovatko vektorit v1= (1,0) ja v2= (2,4) matriisin ominaisvektorit D.?
Prosessi
1. Aloitetaan ensimmäisestä vektorista v1. Teemme edellisen lineaarisen muunnoksen:
Joten jos vektori v1 on matriisin ominaisvektori D., tuloksena oleva vektori v1Ja vektori v1heidän pitäisi kuulua samaan linjaan.
Edustamme v1 = (1,0) ja v1’ = (3,0).
Koska molemmat v1kuten V1’Kuuluu samalle riville, v1 on matriisin ominaisvektori D..
Matemaattisesti on vakioh(ominaisarvo) siten, että:
2. Jatkamme toisella vektorilla v2. Toistamme edellisen lineaarisen muunnoksen:
Joten jos vektori v2 on matriisin ominaisvektori D., tuloksena oleva vektori v2Ja vektori v2 niiden tulisi kuulua samalle riville (kuten yllä oleva kaavio).
Edustamme v2 = (2,4) ja v2’ = (2,24).
Koska v2 ja V2”Älä kuulu samaan linjaan, v2 ei ole matriisin ominaisvektori D..
Matemaattisesti vakiota ei oleh(ominaisarvo) siten, että:
