Cholesky-hajoaminen on erityinen LU-matriisihajoaminen, englantilaisesta Lower-Upperista, joka koostuu matriisin jakamisesta kahden tai useamman matriisin tuloksi.
Toisin sanoen, Cholesky-hajoaminen koostuu matriisin, joka sisältää saman määrän rivejä ja sarakkeita (neliömatriisi), matriisista, jonka nollat ovat päädiagonaalin yläpuolella kerrottuna matriisilla, joka on siirretty nollilla päädiagonaalin alapuolella.
LU-hajotusta, toisin kuin Cholesky, voidaan soveltaa erityyppisiin neliömatriiseihin.
Koleskyinen hajoamisominaisuus
Cholesky-hajoaminen koostuu:
- Ylempi kolmiomainen neliömatriisi: Neliömatriisi, jolla on vain nollat päädiagonaalin alapuolella.
- Alempi kolmiomainen neliömatriisi: Matriisi, jolla on vain nollat päädiagonaalin yläpuolella.
Matemaattisesti, jos positiivinen, varma symmetrinen matriisi on olemassa, JA, sitten on olemassa alempi kolmiomainen symmetrinen matriisi, K, sama ulottuvuus kuin JA, johtaen:
Yllä oleva matriisi näkyy E: n Cholesky-matriisina. Tämä matriisi toimii matriisin E neliöjuurena. Tiedämme, että neliöjuuren domeeni on:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Mikä määritetään kaikissa ei-negatiivisissa reaaliluvuissa. Samoin kuin neliöjuuri, Cholesky-matriisi on olemassa vain, jos matriisi on puolipositiivinen. Matriisi on puolipositiivinen määritelty, kun suurimmilla alaikäisillä on positiivinen tai nolla determinantti.
Cholesky-hajoaminen JA on diagonaalimatriisi, joka:
Voimme nähdä, että matriisit ovat neliöisiä ja sisältävät mainitut ominaisuudet; nollakolmio päädiagonaalin yläpuolella ensimmäisessä matriisissa ja nollakolmio päädiagonaalin alapuolella transformoidussa matriisissa.
Koleskyinen hajoaminen sovelluksia
Rahoituksessa sitä käytetään muuntamaan itsenäisten normaalimuuttujien realisaatiot normaalimuuttujiksi, jotka korreloivat korrelaatiomatriisin mukaan JA.
Jos N on itsenäisten normaalien (0,1) vektori, seuraa, että Ñ on normaalien (0,1) vektori, joka on korreloitu JA.
Esimerkki kolesky hajoamisesta
Tämä on yksinkertaisin esimerkki, jonka voimme löytää Cholesky-hajotuksesta, koska matriisien on oltava neliöitä, tässä tapauksessa matriisi on (2 × 2). Kaksi riviä kahdella sarakkeella. Lisäksi se täyttää ominaisuudet, joiden mukaan nollat ovat päädiagonaalin ylä- ja alapuolella. Tämä matriisi on puolipositiivinen selvä, koska suurimmilla alaikäisillä on positiivinen determinantti. Määritämme:
Ratkaisu: c2 = 4; bc = -2; että2+ b2 = 5; meillä on neljä mahdollista kolesky-matriisia:
Lopuksi lasketaan löytää (a, b, c). Kun löydämme ne, meillä on Cholesky-matriisit. Laskelma on seuraava:
