Joukkoalgebra on matematiikan ja logiikan tutkimusalue, joka keskittyy operaatioihin, jotka voidaan suorittaa joukkojen välillä.
Joukko-algebra on osa joukko-teoriaa.
On muistettava, että joukko on erilaisten elementtien, kuten kirjainten, numeroiden, symbolien, funktioiden, geometristen kuvioiden, ryhmittely.
Aseta toiminnot
Päätoiminnot sarjoilla ovat seuraavat:
- liitto: Kahden tai useamman joukon liitos sisältää kaikki elementit, jotka kuuluvat ainakin yhteen näistä sarjoista. Se on merkitty kirjaimella U.
A = (9,34,57,6,9)
B = (10,41,57,9,16)
AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)
- Risteys: Kahden tai useamman joukon leikkauspiste sisältää elementit, jotka nämä ryhmät jakavat. Sen osoittaa käänteinen U (∩). Esimerkki:
A = (a, r, t, i, c, o)
B = (i, n, d, i, c, o)
A∩B = (i, c, o)
- Ero: Yhden joukon ero suhteessa toiseen on yhtä suuri kuin ensimmäisen sarjan elementit miinus toisen elementit. Se osoitetaan symbolilla tai -. Katseli toisella tavalla, x ∈ a A B, jos x ∈ A, mutta x ∉ B. Esimerkki:
A = (21,34,56,17,7)
B = (78,21,17,36,80)
A-B = (34,56,7)
- Täydentää: Joukon täydennys sisältää kaikki elementit, joita ei ole kyseisessä joukossa (mutta jotka kuuluvat toiseen yleiseen vertailujoukkoon). Se osoitetaan yläindeksillä C. Esimerkki:
A = (3,9,12,15,18)
U (maailmankaikkeus) = Kaikki 3: n kerrannaiset, jotka ovat luonnollisia kokonaislukuja alle 30.
TOC=(6,21,24,27)
- Symmetrinen ero: Kahden sarjan symmetrinen ero sisältää kaikki elementit, jotka ovat yhdessä tai toisessa, mutta eivät molempia samanaikaisesti. Toisin sanoen se on joukkojen liitto miinus niiden leikkauspiste. Sen symboli on Δ. Esimerkki:
A = (17.81.99.131.65.32)
B = (11.54.71.65.99.27)
AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)
- Karteesinen tuote: Se on operaatio, joka johtaa uuteen joukkoon, joka sisältää elementteinä järjestetyt parit tai kahteen tai useampaan sarjaan kuuluvien elementtien joukot (järjestetyt sarjat). Ne tilataan pareittain, jos se on kaksi sarjaa, ja sarjoista, jos meillä on enemmän kuin kaksi sarjaa. Esimerkki:
A = (8,15,6,51)
B = (x, y)
AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )
BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )
Asetetun algebran lait
Asetetun algebran lait ovat seuraavat:
- Keskustelu: Joukon yhdistäminen tai leikkaus itsensä kanssa johtaa samaan joukkoon:
XUX = X
X∩X = X
- Kommutatiivinen: Tekijöiden järjestys ei muuta tulosta löydettäessä joukkojen liitosta tai risteystä:
XUY = XUY
X∩Y = X∩Y
- Jakeleva: Joukon X liitto kahden muun joukon Y ja Z leikkauspisteellä on yhtä suuri kuin X: n ja Y: n, X: n ja Z: n liitoksen leikkauspiste.
XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)
Lisäksi sama pätee, jos käännämme toimintojen järjestyksen:
X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)
- Assosiatiivinen: Usean joukon yhdistämisen tai leikkaustoiminnan ehdot voidaan ryhmitellä erottelematta, jolloin saadaan aina sama tulos:
XU (XUY) = (XUY) UZ
X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z
- Morganin laki: Kahden joukon liitoksen komplementti on yhtä suuri kuin niiden komplementtien leikkauspiste, ja kahden joukon leikkauspisteen komplementti on yhtä suuri kuin niiden komplementtien liitos.
(XUY)C= XC∩YC
(X∩Y)C= XCUyC
- Ero laki: Yhden joukon ero suhteessa toiseen on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen komplementin leikkauspiste:
(X-Y) = X2YC
- Täydentävät lait:
- Joukon ja sen komplementin liitto ei ole yhtä suuri kuin universaali joukko. XUXC= U
- Joukon leikkauspiste sen komplementin kanssa on yhtä suuri kuin nolla tai tyhjä joukko. X∩XC=∅
- Joukon X komplementin komplementti on yhtä suuri kuin joukko X. (XC)C= X
- Yleisjoukon komplementti on yhtä suuri kuin nolla tai tyhjä joukko. XC=∅
- Tyhjän joukon komplementti on yhtä suuri kuin universaali joukko. ∅C= U
- Absorptiolait:
- XU (X∩Y) = X
- X (XUY) = X
- XU (XC∩Y) = XUY
- X∩ (XCUY) = X∩Y
