Antisymmetrinen matriisi on neliömäinen matriisi, jossa päädiagonaalin ulkopuolella olevat elementit ovat symmetrisesti samat, mutta päädiagonaalin alapuolella olevilla on negatiivinen merkki.
Toisin sanoen, antisymmetrinen matriisi on matriisi, jolla on sama määrä rivejä (n) ja sarakkeita (m) ja päädiagonaalin molemmin puolin olevat elementit ovat toisiaan täydentäviä.
Koska päädiagonaalin ylä- ja alapuolella olevat elementit ovat siirtymässä, päädiagonaalin elementit ovat nollia.
Suositeltava artikkeli: ei-symmetrinen matriisi ja symmetrinen matriisi.
Antisymmetrisen matriisin ominaisuudet
Antisymmetrisen matriisin ominaisuudet ovat:
- Neliön matriisi.
- Symmetrinen matriisi + negatiivinen merkki (-) päädiagonaalin alapuolella olevissa elementeissä.
- Päädiagonaalin elementit ovat nollia (0).
Antisymmetrinen matriisi
Annetaan neliömatriisi ÄSSÄ,
Voimme nähdä, kuinka samat elementit näkyvät päädiagonaalin molemmilla puolilla, mutta sillä erityispiirteellä, että päädiagonaalin alapuolella olevien elementtien edessä on negatiivinen merkki. Myös päädiagonaali koostuu nollista.
Antisymmetrinen matriisi ja peilit
Samalla tavalla kuin symmetrinen matriisi, antisymmetrinen matriisi voidaan ymmärtää myös peilin esimerkin kautta.
Jos katsomme itseämme peilistä ja nostamme oikean kätemme, huomaamme, että peilissä oleva henkilö nostaa vasemman kätensä. Toisin sanoen peilin liike täydentää meitä ja siksi molempien summa johtaisi nollaan.
Voimme ilmaista yllä olevan ajatuksen seuraavasti ja päätellä:
(Nosta kätesi oikein) - (Nosta kätesi vasemmalle) = 0
(Nosta kätesi oikein) = (Nosta kätesi vasemmalle)
Pään lävistäjä toimii peilinä ja näemme vastakkaisia elementtejä päädiagonaalin molemmin puolin. Neutraali toiminto (=) kartoittaa päädiagonaalin.
Omaisuus
- Antisymmetrisen matriisin transponoitu matriisi on yhtä suuri kuin antisymmetrinen matriisi kerrottuna (-1).
Toisin sanoen, se olisi kuin negatiivisen merkin lisääminen antisymmetrisen matriisin eteen.
Matemaattisesti,
Voimme nähdä, että molemmilla menettelyillä saavutetaan sama tulos: matriisin saattaminen transponoitavaksi tai kertominen (-1) antisymmetrisellä matriisilla.
Ei-symmetrinen matriisi vs Antisymmetrinen matriisi vs Symmetrinen matriisi
Symmetrisen matriisin tapauksessa peilin esimerkki riittää, että se heijastaa samaa liikettä, toisin sanoen jos nostamme käsivartta, voimme nähdä korotetun käsivarren, mutta ei ole tarpeen määrittää, mikä se on. Antisymmetrisen matriisin tapauksessa meidän on tarkistettava, minkä varren näemme peilistä, ja määritettävä, onko se antisymmetrinen matriisi.
Jos nostamme käden ja peilissä näemme, että …
- Sama käsi nostetaan ylös peilissä olevan henkilön näkökulmasta, silloin se on symmetrinen matriisi.
- Vastakkainen käsivarsi on nostettu peilissä olevan henkilön näkökulmasta, jolloin se on antisymmetrinen matriisi.
- Jos yhtään käsivartta ei nosteta tai enemmän kuin yksi nostetaan, peilissä olevan henkilön näkökulmasta se on epäsymmetrinen matriisi.