Inflection point - Mikä se on, määritelmä ja käsite
Matemaattisen funktion taivutuspiste on se piste, jossa sitä edustava kaavio muuttaa koveruuttaan. Toisin sanoen se muuttuu koverasta kuperaksi tai päinvastoin.
Taivutuspiste on toisin sanoen se hetki, jolloin funktio muuttaa trendiä.
Saadaksesi idean, aloitetaan katsomalla sitä graafisesti, karkeasti:
On huomattava, että funktiolla voi olla useampi kuin yksi taivutuspiste tai ei lainkaan. Esimerkiksi viivalla ei ole taivutuspistettä.
Katsotaan seuraavassa kaaviossa esimerkki funktiosta, jolla on enemmän kuin yksi taivutuspiste:
Matemaattisesti ilmaisupiste lasketaan asettamalla funktion toinen derivaatti nollaksi. Siksi ratkaisemme yhtälön juurelle (tai juurille) ja kutsumme sitä Xi: ksi.
Sitten korvataan Xi funktion kolmannessa johdannaisessa. Jos tulos eroaa nollasta, olemme taivutuspisteen edessä.
Jos tulos on nolla, meidän on kuitenkin korvattava peräkkäiset johdannaiset, kunnes tämän johdannaisen arvo, olipa se sitten kolmas, neljäs tai viides, eroaa arvosta 0. Jos johdannainen on pariton, se on taivutuspiste, mutta jos se on edes ei.
Käännekohtaesimerkki
Seuraavaksi tarkastellaan esimerkkiä.
Oletetaan, että meillä on seuraava toiminto:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Sitten korvataan Xi kolmannessa johdannaisessa:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Koska tulos on erilainen kuin nolla, löydämme taivutuspisteen edestä, joka olisi, kun x on yhtä suuri kuin -1,25 ja y on yhtä suuri kuin -2,1328, kuten seuraavassa kaaviossa esitetään.
Tässä havaitaan, että funktiolla on taivutuspiste:
Katsotaan nyt seuraavaa esimerkkiä:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 ja -3
Sitten korvataan kolmannesta johdannaisesta löytyvät kaksi juurta:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Koska tulos ei ole nolla, meillä on kaksi taivutuspistettä kohdissa (3567) ja (-3567).
Tietojen täydentämiseksi kutsumme sinut käymään taivutusartikkelissa, jossa käsittelemme tätä käsitettä yleisemmin:
Määritelmä taivutus
