Tšebyshevin eriarvoisuus on tilastoissa käytetty lause, joka antaa konservatiivisen estimaatin (luottamusväli) todennäköisyydelle, että satunnaismuuttuja, jolla on rajallinen varianssi, on tietyllä etäisyydellä matemaattisesta odotuksestaan tai keskiarvostaan.
Sen muodollinen ilmaisu on seuraava:
X = arvioitu arvo
µ = arvioidun arvon matemaattinen odotus
Ϭ = Odotetun arvon keskihajonta
k = keskihajontojen lukumäärä
Tästä yleisestä lausekkeesta alkaen ja kehitettäessä sitä osaa, joka pysyy absoluuttisen arvon sisällä, meillä olisi seuraava:
Jos kiinnitämme huomiota edelliseen lausekkeeseen, voidaan nähdä, että vasemmalla oleva osa on korkeintaan a luottamusväli. Tämä tarjoaa meille sekä ala- että ylärajan arvioidulle arvolle. Siksi Chebyshevin epätasa-arvo kertoo meille pienimmän todennäköisyyden, että populaatioparametri on tietyssä määrässä standardipoikkeamia keskiarvon ylä- tai alapuolella. Tai toisin sanoen, se antaa meille todennäköisyyden, että populaatioparametri on kyseisen luottamusvälin sisällä.
Tšebyshevin eriarvoisuus antaa likimääräisen rajan arvioidulle arvolle. Huolimatta tietystä epätarkkuudesta, se on erittäin hyödyllinen lause, koska sitä voidaan soveltaa laajalle joukolle satunnaisia muuttujia niiden jakautumisista riippumatta. Ainoa rajoitus tämän eriarvoisuuden käyttämiseen on, että k: n on oltava suurempi kuin 1 (k> 1).
Matemaattinen eriarvoisuusEsimerkki Tšebyshevin eriarvoisuuden soveltamisesta
Oletetaan, että olemme sijoitusrahaston hoitajia. Hallitsemamme salkun keskimääräinen tuotto on 8,14% ja keskihajonta 5,12%. Jos esimerkiksi tiedämme, mikä prosenttiosuus tuotostamme on vähintään 3 keskihajontaa keskimääräisestä kannattavuudestamme, käytämme yksinkertaisesti edellistä lausekkeen 2 kaavaa.
k = 1,96
Korvaa k: n arvo: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Tämä tarkoittaa, että 73,9% tuloksista on luottamusvälillä, joka sijaitsee 1,96 keskihajonnalla keskiarvosta.
Tehdään edellinen esimerkki muille arvoille kuin k.
k = 2,46
k = 3
Korvaa k: n arvo: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
K: n arvon korvaaminen: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
83,5% tiedoista on 2,46 keskihajonnan ja keskiarvon 3 keskihajonnan sisällä.
Tshebyshevin eriarvoisuutta käyttämällä on helppo päätellä, että mitä korkeampi K: n arvo (sitä suurempi on arvioidun arvon poikkeama keskiarvosta), sitä suurempi on todennäköisyys, että satunnaismuuttuja on rajatulla aikavälillä.
KurtosisKeskirajan lauseEriarvoisuus