Ortokeskus on kolmion kolmen korkeuden leikkauspiste, joka löytyy kuvan sisä- tai ulkopuolelta.
On syytä muistaa, että kolmion korkeus on segmentti, joka alkaa jokaisesta kolmion kärjestä ja ulottuu kohti vastakkaista puolta muodostaen suorakulman tai 90 astetta. Eli korkeus ja sen vastaava sivu ovat kohtisuorassa.
Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa piste O on kuvan ortokeskus, jossa kolmion korkeudet ovat CF, BE ja AD.
Ortokeskus kolmion tyypin mukaan
Ortokeskuksella on erilaiset ominaisuudet kolmion tyypistä riippuen:
- Suorakulmainen kolmio: Suorakulmion ortokeskus yhtyy suorakulmaa vastaavan kärjen kanssa. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa korkeudet ovat BF ja itse kolmion segmentit AB ja BC, ortokeskus on kärki B.
On myös syytä mainita, että korkeudet AB ja BC ovat jalat eli sivut, jotka muodostavat oikean kulman, kun taas AC on hypotenuus.
- Tyhmä kolmio: Ortokeskus on kolmion ulkopuolella, kun se on tylsä, ts. Kun yksi kuvan sisäkulmista on suurempi kuin 90º.
Esimerkiksi alla olevassa kuvassa korkeudet ovat AH, CI ja FB, joten etsimme niiden jatkeiden leikkauspistettä, joka olisi piste O.
- Akuutti kolmio: Ortokeskus sijaitsee kuvan sisällä, kun kolmio on terävä, ts. Kun kaikki sen sisäiset kulmat ovat teräviä tai alle 90º (katso tämän artikkelin ensimmäinen kuva).
Ortinen kolmio
Ortinen kolmio on sellainen, jonka kärjet ovat kolmion kolmen korkeuden jalat. Kuten näemme alla olevasta kuvasta, kolmion ABC ortinen kolmio on kolmio FGH.
On myös totta, että kolmion ABC ortokeskus (piste I) on myös ortisen kolmion kirjoitetun ympyrän keskipiste.
Kuinka löytää kolmion ortokeskus
Oletetaan, että meillä on yhtälö linjoille, jotka sisältävät kaksi kolmion korkeuksista, jotka ovat seuraavat:
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
Joten meidän on löydettävä, millä x: n ja y: n arvoilla molemmat linjat yhtyvät. Ensin ratkaistaan x: lle yhtälö jokaisen yhtälön oikea puoli:
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
x = -14,0853
Sitten ratkaistaan molemmissa yhtälöissä ja kummassakin:
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8,4512 + 7 = -1,4512
Siksi ortokeskuksen koordinaatit suorakulmaisessa tasossa ovat (-14.0853, 1.4512)