Taylorin polynomi on funktion polynomi-likiarvon kertaa johdettavissa tietystä pisteestä.
Toisin sanoen Taylorin polynomi on lopullinen summa paikallisia johdannaisia, jotka on arvioitu tietyssä pisteessä.
Matemaattisesti
Määritämme:
f (x): funktion funktio x.
f (x0): toiminnonxtietyssä kohdassa x0. Muodollisesti se on kirjoitettu:
F(n)(x):n-funktion f (x) derivaatti.
Sovellukset
Taylorin laajennusta sovelletaan yleensä rahoitusvaroihin ja tuotteisiin, joiden hinta ilmaistaan epälineaarisena funktiona. Esimerkiksi lyhytaikaisen velkapaperin hinta on epälineaarinen funktio, joka riippuu koroista. Toinen esimerkki olisi vaihtoehdot, joissa sekä riskitekijät että kannattavuus ovat epälineaarisia funktioita. Sidoksen keston laskeminen on ensimmäisen asteen Taylorin polynomi.
Taylorin polynomi-esimerkki
Haluamme löytää funktion f (x) Taylorin approksimaation toisen järjestyksen pisteestä x0=1.
1. Tehdään funktion f (x) asiaankuuluvat johdannaiset.
Tässä tapauksessa he kysyvät meiltä toiseen järjestykseen, joten teemme funktion f (x) ensimmäisen ja toisen johdannaisen:
- Ensimmäinen johdannainen:
- Toinen johdannainen:
2. Korvataan x0= 1 f (x), f '(x) ja f' '(x):
3. Kun johdannaisten arvo on kohdassa x0= 1, korvataan se Taylorin likiarvolla:
Korjaamme polynomin hieman:
Tarkistetaan arvoja
Taylorin likiarvo on riittävä lähempänä x: tä0 olla arvot. Tämän tarkistamiseksi korvataan arvot, jotka ovat lähellä x: ää0 sekä alkuperäisessä toiminnossa että yllä olevassa Taylorin likiarvossa:
Kun x0=1
Alkuperäinen toiminto:
Taylorin likiarvo:
Kun x0=1,05
Alkuperäinen toiminto:
Taylorin likiarvo:
Kun x0=1,10
Alkuperäinen toiminto:
Taylorin likiarvo:
Ensimmäisessä tapauksessa, kun x0= 1, näemme, että sekä alkuperäinen funktio että Taylorin likiarvo antavat meille saman tuloksen. Tämä johtuu Taylorin polynomin koostumuksesta, jonka olemme luoneet käyttämällä paikallisia johdannaisia. Nämä johdannaiset on arvioitu tietyssä kohdassa x0= 1 arvon saamiseksi ja polynomin luomiseksi. Joten mitä kauempana tästä pisteestä, x0= 1, sitä vähemmän sopiva likiarvo on alkuperäiselle epälineaariselle toiminnolle. Tapauksissa, joissa x0= 1,05 ja x0= 1.10 alkuperäisen funktion tuloksen ja Taylorin likiarvon välillä on merkittävä ero.
Mutta … ero on hyvin pieni, eikö olekin?
Taylorin polynomiesitys
Jos laajennamme ääripäitä (missä likiarvo lähtee x: stä0=1):
Ensi silmäyksellä se saattaa tuntua merkityksettömältä, mutta kun työskentelemme kaavion parissa ja teemme likiarvoja, on erittäin tärkeää ottaa huomioon ainakin neljä ensimmäistä desimaalia. Lähentämisen perusta on tarkkuus.