Kurtoosi on tilastollinen mitta, joka määrittää konsentraation asteen, jonka muuttujan arvot esiintyvät taajuusjakauman keskusvyöhykkeen ympäri. Se tunnetaan myös kohdentamistoimenpiteenä.
Kun mitataan satunnaismuuttuja, yleensä korkeimman taajuuden tulokset ovat jakauman keskiarvon ympärillä. Kuvitelkaamme oppilaiden korkeutta luokassa. Jos luokan keskimääräinen korkeus on 1,72 cm, on normaalia, että muiden opiskelijoiden korkeudet ovat tämän arvon ympärillä (tietyllä vaihtelevuudella, mutta olematta liian suuria). Jos näin tapahtuu, satunnaismuuttujan jakauman katsotaan jakautuneen normaalisti. Mutta kun otetaan huomioon mitattavien muuttujien ääretön määrä, tämä ei aina pidä paikkaansa.
On joitain muuttujia, joiden keskiarvon ympärillä on suurempi pitoisuus (vähemmän dispersiota) ja toisten päinvastoin, niiden arvojen pienempi pitoisuusaste (suurempi dispersio) keskiarvonsa ympärillä. Siksi kurtosis ilmoittaa meille kuinka terävä (korkeampi pitoisuus) tai litistynyt (alempi pitoisuus) jakauma on.
Keskeisen taipumuksen mittausKumulatiivinen taajuusKurtoosin tyypit
Kurtoosin asteesta riippuen meillä on kolmen tyyppisiä jakaumia:
1. Leptokurtic: Niiden keskiarvon (g2>3)
2. Mesocúrtic: Arvojen keskimääräinen pitoisuus niiden keskiarvon (g2=3).
3. Platicúrtica: Arvojen keskimääräinen pitoisuus niiden keskiarvon (g2<3).
Kurtosis-mittaukset tietojen mukaan
Tietojen ryhmittelystä riippuen käytetään yhtä tai toista kaavaa.
Ryhmittelemättömät tiedot:
Tiedot ryhmitelty taajuustaulukoihin:
Tiedot ryhmitelty välein:
Esimerkki kurtoosin laskemisesta ryhmittelemättömille tiedoille
Oletetaan, että haluamme laskea seuraavan jakauman kurtosis:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Lasketaan ensin aritmeettinen keskiarvo (µ), joka olisi 7,69.
Seuraavaksi lasketaan keskihajonta, joka olisi 2,43.
Saatuaan nämä tiedot ja helpottamiseksi laskemista voidaan tehdä taulukko laskemaan osoittajan osa (jakelun neljäs momentti). Ensimmäisessä laskelmassa se olisi: (Xi-u) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Tiedot | (Xi-u) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Kun tämä taulukko on tehty, meidän on yksinkertaisesti sovellettava kaavaa, joka on aiemmin altistunut kurtosikselle.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
Tässä tapauksessa koska g2 on suurempi kuin 3, jakauma olisi leptokurtinen, mikä osoittaa suuremman osoittimen kuin normaali jakauma.
Ylimääräinen kurtosis
Joissakin käsikirjoissa kurtoosi esitetään ylimääräisenä kurtoosina. Tässä tapauksessa sitä verrataan suoraan normaalijakauman tasoon. Koska normaalijakaumalla on kurtoosi 3, ylimäärän saamiseksi meidän on vain vähennettävä 3 tuloksestamme.
Kurtosis ylimääräinen = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Tulosta tulkitaan tässä tapauksessa seuraavasti:
g2-3> 0 -> leptokurtinen jakauma.
g2-3 = 0 -> mesokortikaalinen (tai normaali) jakauma.
g2-3 platicúrtic-jakauma.
Kuvailevia tilastoja