Kovarianssi on arvo, joka heijastaa sitä, kuinka paljon kaksi satunnaista muuttujaa vaihtelevat yhdessä niiden keskiarvon suhteen.
Sen avulla voimme tietää, kuinka muuttuja käyttäytyy sen perusteella, mitä toinen muuttuja tekee. Eli kun X nousee, miten Y käyttäytyy? Kovarianssi voi siis saada seuraavat arvot:
Kovarianssi (X, Y) on alle nolla, kun “X” nousee ja “Y” laskee. On negatiivinen suhde.
Kovarianssi (X, Y) on suurempi kuin nolla, kun "X" nousee ja "Y" nousee. On positiivinen suhde.
Kovarianssi (X, Y) on yhtä suuri kuin nolla, kun muuttujien "X" ja "Y" välillä ei ole yhteyttä.
Kovarianssin laskeminen
Kovarianssikaava ilmaistaan seuraavasti:
Missä y aksentilla on muuttujan Y keskiarvo ja x aksentilla on muuttujan X keskiarvo. "I" on havainnon sijainti ja "n" havaintojen kokonaismäärä.
Vaihtoehtoisesti, kun absoluuttiset taajuudet eivät ole yhtenäisiä (toisin sanoen parit i, j toistetaan ainakin kerran), sovellettava kaava on seuraava:
Kovarianssin ominaisuudet
Työskennellessä sen kanssa on otettava huomioon ominaisuudet, jotka sillä on ja jotka johtuu kovarianssin määritelmästä:
- Cov (X, b) = 0, missä b on tässä tapauksessa vakio.
- Cov (X, X) = Var (X) eli muuttujan kovarianssi ja itsessään on yhtä suuri kuin muuttujan varianssi.
- Cov (X, Y) = Cov (Y, X) kovarianssi on sama riippumatta siitä, missä järjestyksessä ne asetetaan.
- Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y), jossa b ja c ovat kaksi vakiota. Kahden muuttujan kovarianssi kerrottuna kahdella vakiolla on yhtä suuri kuin kahden muuttujan kovarianssi kerrottuna vakioiden kertomalla.
- Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) minkä tahansa kahden vakion lisääminen kullekin muuttujalle ei vaikuta kovarianssiin.
- Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) tai mikä on sama, kovarianssi on yhtä suuri kuin odotetaan kahden muuttujan tulo miinus kahden odotuksen tulo erikseen.
Laajentamalla edellisiä ominaisuuksia, jos kaksi muuttujaa on riippumattomia. Eli heillä ei ole mitään tilastollista yhteyttä, on totta, että:
E (X · Y) = E (X) · E (Y)
Toisin sanoen kahden muuttujan tulon odotus on yhtä suuri kuin mainittujen muuttujien kahden erillisen odotuksen tulo.
SijoitusEsimerkki kovarianssista
Oletetaan, että meillä on seuraavat tiedot X: lle ja Y: lle.
Kuinka tulkitsemme tämän tuloksen?
Tämä 4 kertoo meille, että se on suurempi kuin nolla, että näillä kahdella muuttujalla on positiivinen suhde. Kahden muuttujan välisen mukautetun suhteen tuntemiseksi meidän on laskettava lineaarinen korrelaatio. Kaksi eri muuttujien kovarianssia eivät ole vertailukelpoisia, koska kovarianssin arvo on absoluuttinen arvo, joka riippuu muuttujien mittayksiköstä.
Lineaarinen korrelaatiokerroinMatemaattinen toivo
