Varianssi-kovarianssimatriisi on neliömatriisi, jonka koko on nxm ja joka kerää varsiot päädiagonaalissa ja kovarianssit elementtien päädiagonaalin ulkopuolella.
Toisin sanoen varianssi-kovarianssimatriisi on matriisi, jolla on sama määrä rivejä ja sarakkeita ja jonka varianssit jakautuvat päädiagonaaliin ja kovarianssit päädiagonaalin ulkopuolella oleviin elementteihin.
KovarianssiMatriisiesitys
Varianssi-kovarianssimatriisi ilmaistaan yleensä
Vaikka näyttää siltä, että se on summan symboli ja että sillä ei ole yhteyttä varianssi-kovarianssimatriisiin, tämä kreikkalainen kirjain edustaa täydellisesti tämän matriisin sisältöä.
Ymmärtääksemme sen, tarkastellaan ensin sen ilmaisua:
Tietäen, että on m sarakkeet, ellipsi osoittaa, että toisen ja viimeisen sarakkeen väliset sarakkeet on jätetty pois. Samoin tietäen, että on n rivit, ellipsi osoittaa, että toisen ja viimeisen rivin väliset rivit on jätetty pois.
Tässä tapauksessa käytämme sigmaa edustamaan kovariansseja ja sigma neliöinä variansseille. Esimerkiksi:
Mikä kreikan kirjain esiintyy matriisin kaikissa osissa? Sigma.
Joten on loogista, että varianssi-kovarianssimatriisin määrittelemiseksi käytetään myös sigmaa.
Kreikan kirje
on pääoman muoto
Joten jos muistamme, että varianssi-kovarianssimatriisi ilmaistaan sigman isoilla kirjaimilla, on sen muokkaus helpompaa muistaa.
Vaatimukset varianssi-kovarianssimatriisiksi
Matriisin varianssi-kovarianssivaatimukset ovat seuraavat:
- Neliön matriisi: sama määrä rivejä (n) kuin sarakkeet (m), sitten, n = m, ja siksi tämän matriisin mitat voidaan ilmaista sekä nxm että nxn.
- vuonna päävino on vaihtelut:
- Pois päälävistäjästä on kovarianssit:
Sovellus
Varianssi-kovarianssimatriisi on erittäin suosittu ekonometriassa, koska sitä käytetään pääasiassa lineaarisen regressiokertoimien matriisilaskennassa käyttämällä tavallisia pienimpiä neliöitä muun muassa.
Rahoituksessa sitä käytetään yleiskuvan saamiseen rahoitusvarojen volatiliteetista.
Varianssin ja kovarianssin matemaattinen ilmaisu
Matematiikka ilmaistaan seuraavasti:
- Elementin n = 1 ja m = 2 kovarianssi
- Elementin n = 1 ja m = 1 varianssi
Sekä varianssi että kovarianssi voidaan korjata. Eli nimittäjä on n-1 n: n sijasta. Tämä johtuu vapauden asteista ja riippuu siitä, puhummeko väestöstä vai otosvaihteluista ja kovariansseista.
