Bayesin lausetta käytetään tapahtuman todennäköisyyden laskemiseen, sillä sillä on etukäteen tietoa tapahtumasta.
Voimme laskea tapahtuman A todennäköisyyden tietäen myös, että tuo A täyttää tietyn ominaisuuden, joka määrittää sen todennäköisyyden. Bayesin lause ymmärtää todennäköisyyden käänteisesti kokonaistodennäköisyyslausekkeeseen. Kokonais Todennäköisyyslause tekee päätelmän tapahtumasta B tapahtumien A tuloksista. Bayes puolestaan laskee A: n todennäköisyyden ehdolliseksi B: lle.
Bayesin lause on kyseenalaistettu laajalti. Mikä on johtunut pääasiassa sen huonosta sovelluksesta. Koska niin kauan kuin epäyhtenäisyyttä ja tyhjentäviä tapahtumia koskevat oletukset täyttyvät, lause on täysin pätevä.
Bayesin lauseen kaava
Bayesin määrittelemän todennäköisyyden laskemiseksi tämän tyyppisessä tapahtumassa tarvitaan kaava. Kaava määritellään matemaattisesti seuraavasti:
Missä B on tapahtuma, josta meillä on aikaisempaa tietoa, ja A (n) ovat erilaisia ehdollistettuja tapahtumia. Osoittimen osassa meillä on ehdollinen todennäköisyys ja alaosassa koko todennäköisyys. Joka tapauksessa, vaikka kaava näyttää hieman abstraktilta, se on hyvin yksinkertainen. Tämän osoittamiseksi käytämme esimerkkiä, jossa A (1), A (2) ja A (3) sijaan käytämme suoraan A: ta, B: tä ja C: tä.
Bayesin lauseesimerkki
Yrityksellä on Yhdysvalloissa tehdas, jolla on kolme konetta, A, B ja C, jotka tuottavat astioita vesipulloille. Kone A: n tiedetään tuottavan 40% kokonaismäärästä, kone B 30% ja kone C 30%. Jokaisen koneen tiedetään myös tuottavan viallisia pakkauksia. Siten, että kone A tuottaa 2% viallisista pakkauksista kokonaistuotannostaan, kone B 3% ja kone C 5%. Tästä huolimatta esiin nousee kaksi kysymystä:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Jos tämän yrityksen tehdas on valmistanut kontin Yhdysvalloissa, mikä on todennäköisyys, että se on viallinen?
Kokonaistodennäköisyys lasketaan. Koska eri tapahtumista laskemme todennäköisyyden, että se on viallinen.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Prosentteina ilmaistuna sanomme, että todennäköisyys, että tämän yhtiön Yhdysvalloissa sijaitsevan tehtaan valmistama kontti on viallinen, on 3,2%.
2. Jatkamalla edellistä kysymystä, jos kontti on hankittu ja se on viallinen, mikä on todennäköisyys, että se on valmistettu koneella A ja koneella B ja koneella C?
Tässä käytetään Bayesin lausetta. Meillä on ennakkotietoja, eli tiedämme, että pakkaus on viallinen. Tietenkin, tietäen, että se on viallinen, haluamme tietää, mikä on todennäköisyys, että jokin koneista on tuottanut sen.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Kun tiedetään, että säiliö on viallinen, todennäköisyys, että se on valmistettu koneella A, on 25%, että se on tuotettu koneella B on 28% ja että se on tuotettu koneella C on 47%.
