Black-Scholes-malli on kaava, jota käytetään rahoitusvaihtoehdon hinnan arvostamiseen. Tämä kaava perustuu stokastisten prosessien teoriaan.
Black-Scholes -mallin velkaa on nimensä kahdelle sen kehittäjälle, Fisher Blackille ja Myron Scholesille. Black-Scholesia käytettiin alun perin muiden kuin osinko-optioiden arvostamiseen. Tai mikä on sama, yrittää laskea, minkä rahoitusvaihtoehdon "oikeudenmukaisen" hinnan pitäisi olla. Myöhemmin laskentaa laajennettiin kaikenlaisille vaihtoehdoille.
Tämä malli sai Nobel-palkinnon taloustieteessä vuonna 1997. Tällä tavoin siitä on tullut yksi modernin finanssiteorian peruspilarista. Monet analyytikot käyttävät tätä menetelmää arvioidakseen, minkä rahoitushinnan sopivan hinnan pitäisi olla.
Black-Scholes-mallin oletukset
Ennen kaavan ja sen jälkeisen laskutoimituksen aloittamista on tarpeen tehdä joitain huomioita mallista. Joitakin lähtökohtaisia oletuksia, jotka malli ottaa huomioon ja jotka luetellaan alla:
- Ei transaktiokustannuksia tai veroja.
- Riskitön korko on vakio kaikille maturiteeteille.
- Kanta ei maksa osinkoa.
- Volatiliteetti pysyy vakiona.
- Lyhytaikainen myynti on sallittua.
- Ei ole riskitöntä arbitraasimahdollisuutta.
- Oletetaan, että tuottojen todennäköisyysjakauma on normaalijakauma.
Black-Scholes -kaava
Black-Scholes -optiohinnoittelukaava ilmaistaan seuraavasti:
Oletko valmis sijoittamaan markkinoille?
Yksi maailman suurimmista välittäjistä, eToro, on helpottanut sijoittamista rahoitusmarkkinoille. Nyt kuka tahansa voi sijoittaa osakkeisiin tai ostaa murto-osuuksia 0%: n palkkioilla. Aloita sijoittaminen nyt vain 200 dollarin talletuksella. Muista, että on tärkeää kouluttaa sijoittamista, mutta tietenkin tänään kuka tahansa voi tehdä sen.
Pääomasi on vaarassa. Muita maksuja voidaan periä. Lisätietoja on osoitteessa stocks.eToro.com
Haluan sijoittaa Etoroon
Missä:
- C = Optioiden ostohinta tänään (T = 0) euroina.
- T = erääntymisaika vuosina (3 kuukautta = 0,25 vuotta).
- r = korko ilman riskiä. Valtionvelan kannattavuus yhtä paljon
- sigma = volatiliteetti yhden mukaan.
- X = Ostovaihtoehdon toteutushinta euroina.
- S = Osakkeen hinta T = 0 euroina.
- N (d1 ja d2) = Normaalijakauman kumulatiivisen todennäköisyysfunktion arvo nollakeskiarvolla ja yhdellä keskihajonnalla.
Esimerkki Black-Scholes-laskelmasta
Oletetaan, että haluamme laskea osto-optioiden arvon, joiden voimassaoloaika on 3 kuukautta, ja aloitushinta on 40 euroa. Osakkeen hinta on 50 euroa. Vuotuinen volatiliteetti on 30% (0,3). Ja kolmen kuukauden riskitön korko on 10%. Kanta ei maksa osinkoa seuraavien kolmen kuukauden ajalta.
Siksi:
- C = Optioiden ostohinta tänään (T = 0) euroina.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 euroa.
- S = 50 euroa.
Lasketaan d1 ja d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Muuten d1: n ja d2: n viimeisten arvojen saamiseksi on käytettävä todennäköisyystaulukoita.
Kun meillä on kaikki tiedot, korvataan alkuperäinen kaava:
Black-Scholesin mukaan sopiva hinta osto-optiollemme on 11 123 euroa.
Black-Scholes-mallin rajoitukset
Vaikka Black-Scholes-malli tarjoaa loistavan ratkaisun ongelmaan sopivan hinnan laskemisesta optiolle, sillä on joitain rajoituksia.
Se on malli eli todellisuuden mukauttaminen. Siksi sopeutumisena todellisuuteen se ei edusta sitä täydellisesti. Black-Scholes laskee niiden optioiden hinnan, joita voidaan käyttää tai suorittaa vain erääntyessään. Yhdysvaltain optioita voidaan kuitenkin käyttää ennen erääntymistä. Lisäksi siinä oletetaan, että osakkeet eivät maksa osinkoja. Ja että sekä riskitön korko että volatiliteetti ovat vakioita. Eikä näin ole todellisuudessa, koska monet osakkeet maksavat osinkoa. Viimeiseksi volatiliteetti ja riskitön korko muuttuvat ajan myötä, joten myöskään tämä oletus ei pidä paikkaansa.
Matemaattinen malli