Kombinaattorit ilman toistoa ymmärretään erilaisina joukkoina, jotka voidaan muodostaa «n» -elementeillä, jotka on valittu joukosta x x: ssä. Jokaisen sarjan on oltava erilainen edellisestä ainakin yhdessä sen elementissä (järjestyksellä ei ole merkitystä), eikä niitä voida toistaa.
Kombinatorika ilman toistoa on yleistä käyttöä tilastoissa ja matematiikassa. Tämä sopii moniin tosielämän tilanteisiin ja sen soveltaminen on melko suoraviivaista.
Otetaan esimerkiksi opiskelija, jolla on 4 kysymyksen tentti. Neljästä kysymyksestä hänen on valittava kolme: Kuinka monta erilaista yhdistelmää opiskelija voisi tehdä? Jos ajattelemme vähän, näisimme (soveltamatta kaavaa), että opiskelija voisi valita, miten vastata kolmeen kysymykseen neljällä eri tavalla.
- Sarja / vaihtoehto 1: Vastaa kysymyksiin 1,2,3.
- Sarja / vaihtoehto 2: Vastaa kysymyksiin 1,2,4.
- Sarja / vaihtoehto 3: Vastaa kysymyksiin 1,3,4.
- Sarja / vaihtoehto 4: Vastaa kysymyksiin 2,3,4.
Kuten näemme, opiskelija voi muodostaa 4 sarjaa (n) 3 elementistä (x). Siksi kombinatorika kertoo meille, kuinka muodostetaan tai ryhmitellään rajallinen määrä tietoa / havaintoja tietyn määrän ryhmissä ilman, että jokin elementeistä voidaan toistaa kussakin ryhmässä. Tämä on tärkein ero kombinatorisen ja toistettavan (elementit kussakin ryhmässä voidaan toistaa) ja kombinatorisen välillä ilman toistoa (yhtään elementtiä ei voida toistaa kussakin ryhmässä)
Tässä esimerkissä korostetaan, että kyseessä on kombinaattori ilman toistoa, koska opiskelija ei voi kysyä mitään kysymyksistä useammin kuin kerran. Siksi joukkoelementtejä ei voida toistaa.
Edellisessä tapauksessa, koska elementtien kokonaismäärä on pieni ja joukon määrä suuri, vaihtoehtojen määrä on pieni ja se voidaan helposti päätellä soveltamatta kaavaa. Jos sovelletaan kaavaa suoraan, osoittaja olisi 24 (4 * 3 * 2 * 1) ja nimittäjä olisi 6 (3 * 2 * 1 * 1), joiden kanssa pääsisimme laskemaan samalla tavalla ajattelematta, miten voisimme ryhmitellä nämä neljä kysymystä kolmena sarjaan.
Kuinka laskea kombinatorika ilman toistoa?
Yhdistelmän kaava ilman toistoa on:
Missä:
- n = Havaintojen kokonaismäärä
- x = Valittujen tuotteiden määrä
Esimerkki kombinatorinen ilman toistoa
Kuvitellaan 12 sotilaan sotilasjoukkoa. Armeijan kapteeni haluaa muodostaa 2 sotilaan ryhmät tunkeutumaan vihollisen viivan taakse eri pisteissä, kuinka monta erilaista ryhmää hän voisi muodostaa?
Ongelman ratkaisemiseksi meidän on ensin tunnistettava elementtien kokonaismäärä. Tässä tapauksessa on yhteensä 12 sotilasta, joten meillä on jo n. Koska kapteeni haluaa 2 hengen ryhmät, tiedämme jo, mikä on x. Tämän tietäen voimme korvata kaavan ja saada ryhmien yhdistelmien lukumääräksi 2.
- n = 12
- x = 2
Kun vaihdat:
Kun käytetään kerrointa kerrannaisena nimittäjälle, meillä olisi 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Nimittäjää varten meillä on 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7257 600. Yhdistelmälukumme on = 479001600/7257600 = 66.
Kuten näemme, kapteeni voi muodostaa 66 erilaista sotilasparia hänen joukossaan olevista 12 joukosta.