Vektorit ja ominaisarvot - mikä se on, määritelmä ja käsite
Ominaisvektorit ovat vektoreita kerrottuna ominaisarvolla matriisin lineaarisissa muunnoksissa. Ominaisarvot ovat vakioita, jotka kertovat ominaisvektorit matriisin lineaarisissa muunnoksissa.
Toisin sanoen ominaisvektorit kääntävät informaation alkuperäisestä matriisista arvojen kertomiseen ja vakiona. Ominaisarvot ovat tämä vakio, joka kertoo ominaisvektorit ja osallistuu alkuperäisen matriisin lineaariseen muunnokseen.
Vaikka sen nimi espanjaksi on hyvin kuvaileva, englanniksi ominaisvektoreita kutsutaan ominaisvektorit ja ominaisarvot, ominaisarvot.
Suositeltavat artikkelit: matriisityypologiat, käänteismatriisi, matriisin determinantti.
Omat vektorit
Ominaisvektorit ovat alkuainejoukkoja, jotka kertomalla mikä tahansa vakio ovat ekvivalentteja alkuperäisen matriisin ja alkujoukkojen kertoimien kanssa.
Matemaattisesti ominaisvektoriV= (v1,…, Vn) neliömäisen matriisinQ on mikä tahansa vektoriV joka tyydyttää seuraavan lausekkeen vakiolleh:
QV = hV
Omat arvot
Vakio h on ominaisvektoriin kuuluva ominaisarvo V.
Ominaisarvot ovat todelliset juuret (juuret, joilla on reaalilukuja ratkaisuna), jotka löydämme ominaisyhtälön kautta.
Ominaisarvojen ominaisuudet
- Jokaisella ominaisarvolla on ääretön ominaisvektori, koska on olemassa ääretön reaaliluku, joka voi olla osa jokaista ominaisvektoria.
- Ne ovat skalaareja, ne voivat olla kompleksilukuja (ei todellisia) ja ne voivat olla identtisiä (useampi kuin yksi sama ominaisarvo).
- Ominaisarvoja on niin monta kuin rivejä (m) tai sarakkeita (n) on alkuperäinen matriisi.
Vektorit ja ominaisarvot
Vektorien ja ominaisarvojen välillä on lineaarinen riippuvuussuhde, koska ominaisarvot kertovat ominaisvektorit.
Matemaattisesti
Jos V on matriisin ominaisvektoriZ Y h on matriisin ominaisarvo ZsittenhV on lineaarinen yhdistelmä vektoreiden ja ominaisarvojen välillä.
Tyypillinen toiminto
Ominaisfunktiota käytetään matriisin ominaisarvojen löytämiseenZ neliö.
Matemaattisesti
(Z - hl) V = 0
Missä ZYh on määritelty edellä jaMinä on identiteettimatriisi.
Ehdot
Matriisin vektorien ja ominaisarvojen löytämiseksi sen on täytyttävä:
- Matriisi Z neliö: rivien määrä (m) on sama kuin sarakkeiden lukumäärä (n).
- Matriisi Z todellinen. Suurimmalla osalla rahoituksessa käytettävistä matriiseista on todelliset juuret. Mitä etua on todellisten juurien käytössä? Matriisin ominaisarvot eivät koskaan tule olemaan kompleksilukuja, ja se, ystävät, ratkaisee elämäämme paljon.
- Matriisi (Z- Hei) ei käännettävissä: determinantti = 0. Tämä ehto auttaa meitä löytämään aina muita ominaisvektoreita kuin nolla. Jos löysimme ominaisvektorit, jotka ovat yhtä suuret kuin 0, niin kertolasku arvojen ja ominaisvektorien välillä olisi nolla.
Käytännön esimerkki
Oletetaan, että haluamme löytää a: n vektorit ja ominaisarvotZ 2 × 2 ulottuvuusmatriisi:
1. Korvataan matriisi Z YMinä ominaisyhtälössä:
2. Korjaamme tekijät:
3. Kerrotaan elementit ikään kuin etsimme matriisin determinanttia.
4. Ratkaisu tähän asteen yhtälöön on h = 2 ja h = 5. Kaksi ominaisarvoa, koska matriisin rivien tai sarakkeiden määrä Z on 2. Joten olemme löytäneet matriisin ominaisarvot Z jotka puolestaan tekevät determinantin 0.
5. Ominaisvektorien löytämiseksi meidän on ratkaistava:
6. Esimerkiksi (v1, v2) = (1,1), kun h = 2 ja (v1, v2) = (- 1,2) h = 5:
